Xem trước nội dung
Chuyên ĐềBất Đẳng Thức 1
Mục lục
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 1.1 Định nghĩa bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 3 2.1 Chứng minh bất đẳng thức dùng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Phương pháp biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Phương pháp sửdụng bất đẳng thức X2 ≥0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Dùng các bất đẳng thức cổđiển đểchứng minh bất đẳng thức . . . . . . . 9 2.4.1 Bất đẳng thức Côsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 Phương pháp phản chứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.7 Phương pháp tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.8 Phương pháp đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.9 Phương pháp hình học, toạđộ, véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.10 Phương pháp miền giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.11 Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.11.1 Phương pháp làm trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.11.2 Phương pháp lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 48 3.1 Giải phương trình, hệphương trình, bất phương trình . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Tìm giá trịlớn nhất, giá trịnhỏnhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
HOÀNG THAN H THỦY
www.VNMATH.com
Chuyên ĐềBất Đẳng Thức 2
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Định nghĩa bất đẳng thức
Định nghĩa 1.1. Cho hai sốa và b, ta nói rằng a nhỏhơn b và kí hiệu là a < b nếu a −b âm. a < b ⇐⇒a −b âm. Tương tựta có a lớn hơn b và kí hiệu là a > b nếu a −b dương. a > b ⇐⇒a −b dương.
Định nghĩa 1.2. Cho a, b là hai biểu thức số, các mệnh đềdạng ”a < b” hoặc ”a > b” được gọi là bất đẳng thức.
Định nghĩa 1.3. Ta nói a nhỏhơn hoặc bằng b nếu a < b hoặc a = b và kí hiệu là a ≤b. Vậy a ≤b ⇔a < b ∨a = b Tương tựta cũng có định nghĩa cho a lớn hơn hoặc bằng b.
1.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Tính chất 1.1. Tính bắc cầu: a < b và b < c suy ra a < c.
Tính chất 1.2. Quy tắc cộng bất đẳng thức với một số:
a < b ⇐⇒a + c < b + c, ∀c
Tính chất 1.3. Quy tắc chuyển vế: a < b + c ⇐⇒a −c < b
Tính chất 1.4. Quy tắc cộng hai bất đẳng thức: ( a < b c < d ⇒a + c < b + d
Chú ý: Không có quy tắc trừhai bất đẳng thức cùng chiều.
Tính chất 1.5. Quy tắc nhân hai bất đẳng thức với một số:
• a < b ⇔ac < bc nếu c > 0
• a < b ⇔ac > bc nếu c < 0
Tính chất 1.6. Quy tắc nhân hai bất đẳng thức:
( 0 ≤a < b 0 ≤c < d ⇔ac < bd
Chú ý: Chir được phép nhân hai bất đẳng thức không âm cùng chiều và không có phép chia hai bất đẳng thức cùng chiều.
Tính chất 1.7. Với hai sốa, b > 0; n nguyên dương ta có: a < b ⇔an < bn
Tính chất 1.8. Với a, b > 0, n ∈N, n ≥1 ta có: a < b ⇔ n√a < n√
b
HOÀNG THANH THỦY
www.VNMATH.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
