Ebook bất đẳng thức của ngô hoàng toản

NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 0

Chuyeân ñeà

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

HÀNH TRÌNH CỦA MƠ ƯỚC

NGÔ HOÀNG TOÀN

LÔÙP YD-K38

ĐẠI HỌC Y DƯỢC CẦN THƠ

NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 1

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC

2012

Phaàn 1.MOÄT SOÁ BAÁT ÑAÚNG THÖÙC CÔ BAÛN

I. Bất đẳng thức AM-GM:

Cho 1 2 , ,..., n a a a là các số thực không âm thì ta có:

1 2 1 2 ... ... n n n a a a n a a a    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... n a a a    .

Tuy nhiên,khi giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp 2 n  và 3 n  .Mà ta thường được biết đến dưới phát biểu:

1. Cho , 0 a b  .Khi đó ta có: 2 a b ab   .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b 

Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác tương đương là:

   

2 2

2 2 2 2 2 , 4 , 2 , 2 2

a b a b ab a b ab a b ab a b              

2. Cho , , 0 a b c  Khi đó ta có: 3 3 a b c abc  .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia b c  

Bất đẳng thức này còn có một số ứng dụng khác khá phổ biến như sau:

Với mọi số thực , , a b c ta luôn có:

i. 2 2 2 a b c ab bc ca     

ii.  

2

2 2 2

3

a b c a b c     

iii.     2 3 a b c ab bc ca     

iv.   2 2 2 2 2 2 a b b c c a abc a b c     

v.     2 3 ab bc ca abc a b c     

NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 2

II. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

Với hai bộ số thực tùy ý 1 2 , ,..., n a a a và 1 2 , ,..., n b b b ta có :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2

1 2

... n

n

a a a b b b    .

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel

Giả sử 1 2 , ,..., n a a a là các số thực bất kì và 1 2 , ,..., n b b b là các số thực dương .

Khi đó ta luôn có :  

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

... ... ...

n n

n

a a a a a a b b b b b b

         

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2

1 2

... n

n

a a a b b b   

Tuy nhiên,khi giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp 2 n  và 3 n  .Khi đó ta gặp một số đánh giá quen thuộc sau:

Cho , , 0 a b c  ta có:

i.  

2

2 2 2

3

a b c a b c     

ii.  1 1 1 9 a b c a b c           

III. Bất đẳng thức Minkowski

Cho

1 2

1 2

, ,...,

, ,...,

n

n

a a a

b b b



     





và 1 p   .Khi đó  

1 1 1

1 1 1

n n n p p p p p p k k k k k k k a b a b

  

                       

Nhưng ta quan tâm nhiều nhất là các bất đẳng thức quen thuộc sau:

i.     2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d       

ii.       2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c m n p a m b n c p           

iii.     2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ... ... ... n n n n a b a b a b a a a b b b              

NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 3

Phần 2.TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

QUA CÁC KÌ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC GIAI ĐOẠN 2007-2012

Bài 1.Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 1 xyz .Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

      2 2 2

2 2 2

x y z y z x z x y P

y y z z z z x x x x y y

        

Đề thi đại học khối A-2007

Lời giải

Ta có:   2 2 2 2 x y z x yz x x   

Tương tự ta có:

  2 2 y z x y y  

  2 2 z x y z z  

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2 2 2 2 2

y y x x z z P

y y z z z z x x x x y y      

Đặt 2 ; 2 ; 2 a x x y y b y y z z c z z x x      

Suy ra: 4 2 4 2 4 2 ; ; 9 9 9 c a b a b c b c a x x y y z z        

Do đó :

 

2 4 4 2 4 2 9

2 2 4 6 4.3 3 6 2 9 9

c a b a b c b c a P b c a

c a b a b c a c a b a a

             

                           

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 x y z   