Tuyển tập Bất Đẳng Thức trong kỳ thi Olympic môn Toán lớp 10

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán

Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 1

BÀI TẬP LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN HỌC TOÀN MIỀN NAM LẦN THỨ XVIII

Chủ đề: BẤT ĐẲNG THỨC

( VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐH QUẢNG NAM)

1. (Russia 1991). Cho

1990

1 1

1991 i i i

x x  

   . Đặt 1 2 ... n n

x x x s n     . Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 2 2 3 1990 1991 ... s s s s s s       .

HD: Đặt 1 2 2 3 1990 1991 ... M s s s s s s        .

9 1 19 0 i   ta có:  

 

 

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

i i i i

k k i k k k k k k k i i

x x ix x k x x s s i i i i i i



      

             

.

Suy ra:  

1 1 1 1

i

k k k i i

k x x s s i i

  

    

.

Cho i chạy từ 1 đến 1990, ta thu được 1990 bất đẳng thức và cộng chúng lại, ta có:

   

1 1990 1990 1990 1990 1 1 1 1 1 1

1 1 1

i

k k k i i i i i i i k i

k x x M s s i x x i i k k

       

                   

1990 1990 1990

1 1 1 1 1 1

1 1990 1 1 1990 1991 1991 1991 i i i i i i i i i

i x x x x x x                               .

2. (United Kingdom 1992). Cho , , , 0 x y z w  . Chứng minh: 12 1 3 1 1 1 4 sym x y z w x y x y z w                 

HD: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có:

 

2 1 6 12

sym

sym x y x y x y z w         

; 1 1 1 3 1 1 1 1 4 4 4 sym sym x y x y x y z w                      .

3. ( Italia 1993). Cho   , , 0;1 a b c . Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 1 a b b c b c c a a       .

HD: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:       2 2 2 1 1 1 1 a b b c c a      .

Vì   ; , 0 , 1 a b c nên ta có:

                2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a a b b c c a a b c abc                 .

4. (Poland 1994). Cho * n. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 2

3 2 1 ... 2 3

n n x x x x n     biết rằng:

1 2 , ,..., 0 n x x x  thỏa mãn điều kiện:

1 2

1 1 1 ...

n

n x x x     .

MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán

Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 2

HD:

Với mỗi 1 n k  , áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:   1 .1 1 k k k k k k

x x k kx k x k k        .

Cho k chạy từ 1 đến n ta thu được n bất đẳng thức và cộng chúng lại với nhau:

 

3 2

3 2 1 1 2

1 1 ... ... ... 2 3 2

n n

n x x x n x x x x n n

                 

(1)

Mặt khác, theo AM-GM thì

2

1 2

1 2

... 1 1 1 ...

n

n

n x x x n

x x x

       

(2)

Từ (1) và (2) ta thu được:

3 2

3 2 1

1 1 ... 1 ... 2 3 2

n n x x x x n n        .

Dấu "=" xảy ra 1 2 ... 1 n x x x     .

5. (India 1995). Cho 1 2 , ,..., n x x x  thỏa mãn hai tính chất 1 1 i i x x    và 1 ix  với mọi

  1 1 1,2,..., n i n x x    . Chứng minh rằng: 1 2

2 3 1 ... 2 1 nx x x n x x x     .

HD:

Do 1 2

2 3 1 . ... 1 nx x x x x x  nên  chỉ số k sao cho

1

1 k

k

x x 

 (1)

Từ giả thiết 1 1

1 1 2 2 i i i i

i

x x x x i x  

       (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra:   1 2

2 3 1 1 1 ... 2 1 1 2 1 n i k

k i i k

x x x x x n n x x x x x              .

6. (Romania 1996). Cho 1 2 1 , ,..., , 0 n n x x x x  thỏa mãn: 1 2 1 ... n n x x x x      .

Chứng minh rằng:     1 1 1 1 1

n n

i n i n n i i i x x x x x x           .

HD:

Ta có:     2 2 1 1 1 1 1 1 1

1

n n

n n i n n i n i i x x x nx x x n x               .

Bất đẳng thức đã cho được viết lại dưới dạng: 1

1 1

1 . 1 1

i n

i n

i n

x x x x n



 



   .

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta thấy:    

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 . 2 2 1 2 2 1 1

i i n n i n i n

i i n n

x x x x x x n

n x n x n

 

   

               …