Chinh phục bất đẳng thức bằng phương pháp hệ số bất định và phương pháp tiếp tuyến Nguyễn Tiến Chinh

Chinh phục BĐT trong kỳ thi Quốc Gia Nguyễn Tiến Chinh

KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ TỪNG BIẾN BẰNG HỆ SỐ BẤT ĐỊNH CỞ SỞ LÝ THUYẾT

Bất đẳng thức đưa được về dạng         1 2 ... n f a f a f a m m      với giả thiết

1 2 ... k k k n a a a h     .

Ý tưởng: Khi đó ta tìm cách đánh giá   1 1 k f a a     (*)

Với dự đoán được dấu bằng xảy ra tại tâm là   0 1, ia a i n  

Để (*) đúng thì  

 

0 0

1 0 0 '

k

k f a a

f a ka

 

       

, từ đây ta tìm được , . 

Khi đó chứng minh lại (*) ta có thể dùng biến đổi tương đương hoặc dùng phương pháp hàm số với lưu ý cần hạn chế miền của biến từ điều kiện ràng buộc. Tóm Lại : Phương pháp sẽ là công cụ rất mạnh nếu có hai đặc điểm sau

1. Đưa được bài toán về dạng         1 2 ... n f a f a f a m m     

2. Điểm rơi của bài toán xảy ra khi 1 2 ...... n a a a   

Phân tích và hướng dẫn giải

 Bài toán đã có dạng    f a f b f c   ( các biến hoàn toàn độc lập )

 Vai trò giữa các biến là như nhau, do đó ta dễ dàng dự đoán điểm rơi là

1 3 a b c   

 Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất nghĩa là đánh giá ? P M  

Kết nối những điều trên cho ta ý tưởng đánh giá bđt phụ

 

2 2 1

2 1

x mx n x x

    

Công việc còn lại là tìm , m n. Với việc đánh giá điểm rơi như trên , để tìm , m n ta

dùng hệ sau

1 1 1 3 . 2 3 3 3 2 3 3 1 ' 2 2 3

f m n m n m

n m f m

                                                          

Ta chứng minh

 

  

 

 

2

2 2 2 2 1 3 1 1 3 3 0; 0;1 2 2 2 1 2 1

x x x x x x x x x

            

Dấu bằng xảy ra khi 1 . 3 x  Vậy ta có lời giải sau.

Cho các số thực , , a b c dương và 1 a b c  . Hãy tìm giá trị

Lớn nhất của biểu thức

      2 2 2 2 2 2 1 1 1

2 1 2 1 2 1

a b c P

a a b b c c

           

Bài mẫu 01

Chinh phục BĐT trong kỳ thi Quốc Gia Nguyễn Tiến Chinh Ta chứng minh

 

  

 

 

2

2 2 2 2 1 3 1 1 3 3 0; 0;1 1 2 2 2 1 2 1

a a a a a a a a a

             dấu bằng xảy ra

1 3 a  

 

  

 

 

2

2 2 2 2 1 3 1 1 3 3 0; 0;1 1 2 2 2 1 2 1

b b b b b b b b b

             dấu bằng xảy ra

1 3 b  

 

  

 

 

2

2 2 2 2 1 3 1 1 3 3 0; 0;1 3 2 2 2 1 2 1

c c c c c c c c c

             dấu bằng xảy ra

1 3 b  

Cộng vế với vế của  1 , 2 , 3 ta có

     

  2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 9 6 2 2 2 1 2 1 2 1

a b c P a b c a a b b c c

               

Vậy giá trị lớn nhất của , 1 6 3 MaxP a b c      .

Lưu ý: Để cong việc chứng minh ở bước phân tích thật đơn giản ta sử dụng máy tính CASIOFX – 570ES hỗ trợ như sau

1. Tính 1 3 f

    

, ta nhập

 

1 : 3 2 2 1 1 2 3 2 1

Calc x x f x x

            

2. Tính

 

. 2 2 1 3

1 1 3 ' 3 2 2 1

b Nhap xuat hien

a

x

d x f Shift dx dx x x 

                               

3. Để biến đổi

 

  

 

 

2

2 2 2 2 1 3 1 1 3 3 0; 0;1 2 2 2 1 2 1

x x x x x x x x x

            

Mẹo : Ta nhớ rằng do có điểm rơi tại 1 3 x  , do vậy nếu

 

2 2

1 3 3 2 2 2 1

x x x x

    

xảy ra thì chắc chắn sẽ có 1 3 x  là nghiệm kép, hay có nhân tử chung là

 

2 3 1 x do vậy ta thực hiện hai việc sau

1. Chuyển vế và quy đồng biểu thức cần chứng minh