Phân dạng các bài toán bất đẳng thức và min max Mẫn Ngọc Quang

Qstudy.vn Học Toán Không Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi

A. BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG

Bài 1: Cho 2 số thực ,x y thay đổi thỏa 2 2 2 x y   . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu

thức   3 3 2 3 P x y xy   

Bài giải         3 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 P x y xy x y x xy y xy x y xy xy            

Đặt t = x + y. ĐK : t 2  ,

2 2 2 t xy  

3 2 3 6 3 2 P t t t     , với 2 t 

Xét 3 2 3 ( ) 6 3 2 f t t t t     trên [-2,2]   2 1 ' 3 3 6; ' 0 2 t f t t t f t t         

Ta có       13 1 ; 2 1; 2 7 2 f f f    

   2,2 13 max 2 f t   khi t = 1 nên 13 max 2 P  2 2 1

2

x y

x y

      

1 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 2

x x

y y

                       

   2,2 min 7 f t   khi t = -2 nên minP = - 7 2 2 2

2

x y

x y

      

1 x y   

Bài 2: Cho 0  x và 0  y thỏa điều kiện 2  y x .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1    xy xy P .

Bài giải

Ta có 1 2 0

2           y x xy . Đặt xy t  , điều kiện 0 1 t  khi đó

   

    2 2 2 1 1 ' 1 1 1 1

t t P f t t f t t t t

        

Bảng biến thiên

§1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Qstudy.vn Học Toán Không Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi

+

3

2 1

0

1 0

P/

P

x

Vậy GTLN 2 3  P Khi 1 ;1   y x

Bài 3: Cho , 0 a b  thỏa mãn   2 2 2 2 2 a b a b   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 1 1 1 1

a b P b a a b       

Bài giải Ta có     2 2 2 2 2 2 a b a b a b ab a b       

        2 2 2 2 2

2 2 1 2 1 2 1 1

1 1

a b a b ab a b a b a b

a b a b

         

   

 

 

2 2

2 2

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 4 1 1 2 2 1

a b P b a a b

a b a b a b

a b a b a b

                     

               

        

Đặt t a b  , ta có

       

4 2 2 2 2 2 4 16 a b a b a b ab a b         

Xét    4 1 1 2; 4 2 1 t f t t t t        ta được

 5 inf 2 3 MinP M x khi x y    

Bài 4: Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 3 xy x y   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

  2 2 3 3 1 1 x y xy P x y y x x y        

Bài giải Đặt     2 2 2 2 2 3 ; 2 2 3 2 6 t x y xy t x y x y xy t t t t              

Ta có

2 2 1 3 2 2 4 x y xy t t t           

Qstudy.vn Học Toán Không Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi

Suy ra      

2 2 2 2 2 3 3 12 5 1 2

x y x y xy P x y t t xy x y x y t

             

Xét hàm số 

2 12 5 2 f t t t t    với 2 t 

Ta có  2 2 ' 2 1 0, 2 f t t t t     . Suy ra hàm số  f t nghịch biến với 2 t 

  3 2 2 P f t f    

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3 2 khi 1 x y  .

Bài 5: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện 2 4 ) ( 3    xy y x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức

2 2 2 2 3( ) 2( ) (3 4) 2015 P x y x y xy xy        .

Bài giải Với mọi số thực ,x y ta luôn có xy y x 4 ) ( 2   , nên từ điều kiện suy ra

3 2 3 3 2 ( ) ( ) ( ) 4 2 ( ) ( ) 2 0 1 x y x y x y xy x y x y x y                Ta biến đổi P như sau

2015 ) 4 3 ( ) 2 ( 2 ) ( 2 3 ) ( 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2           xy xy xy y x y x y x P

2015 ) ( 2 ) ( 2 3 ) ( 2 3 2 2 4 4 2 2 2        y x y x y x (3)

Do 2 ) ( 2 2 2 4 4 y x y x    nên từ (3) suy ra 2015 ) ( 2 ) ( 4 9 2 2 2 2 2      y x y x P .

Đặt t y x   2 2 thì 2 1  t (do )1  y x .

Xét hàm số 2015 2 4 9 ) ( 2    t t t f với 2 1  t , có 0 2 2 9 ) ('    t t f , với 2 1  t nên hàm số f(t) đồng biến

trên       ; 2 1 . Suy ra 16 32233 2 1 ) ( min

; 2 1        

       f t f

t

.

Do đó GTNN của P bằng 16 32233, đạt được khi và chỉ khi 2 1  y x

Bài 6: Cho các số dương x, y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

3 2 2 2 2 1 1 2

3 3 3 P x y x y x y      

.

Bài giải

Xét biểu thức

 

3 2 2 2 2 1 1 2

3 3 3 P x y x y x y      

Trước hết …