Bài toán bất đẳng thức GTLN GTNN của biểu thức Nguyễn Hữu Hiếu

Trường THPT Hùng Vương GV. Nguyễn Hữu Hiếu

Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang 1

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC-GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC

1. Một số bất đẳng thức cơ bản thường sử dụng

1.1 Cho , 0 a b  . Khi đó ta có 2 a b ab   . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b  . Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác tương đương là

2

2 a b ab       

;  

2 4 a b ab   ; 2 2 2 a b ab   ;  

2 2 2

2 a b a b   

1.2 Cho , , 0 a b c  . Khi đó ta có 3 3 a b c abc    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c   . Bất đẳng thức này còn có một số ứng dụng để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản khác khá phổ biến như sau:

2 2 2 a b c ab bc ca       

2 2 2 2 1 3 a b c a b c     

    2 3 a b c ab bc ca        2 2 2 2 2 2 a b b c c a abc a b c     

    2 3 ab bc ca abc a b c          2 3 3 3 3 2 2 2 3 a b c a b c     

       9 8 a b c ab bc ca a b b c c a        

 

2 2 2 2

3 a b c a b c       1 1 1 9 a b c a b c           

1.4 Một số hằng đẳng thức đáng nhớ

        

2 x y y z y z z x z x x y x y z xy yz zx                      x y y z z x xyz x y z xy yz zx         

    2 2 2 2 2 x y z x y z xy yz zx        

      3 3 3 3 3 x y z x y z x y y z z x         

1.5 Tuy nhiên biểu thức này làm ta nhớ đến bất đẳng thức phụ:

2 2 1 1 2 1 1 1 ab a b

, với 1 ab .

2 2 1 1 2 1 1 1 a b ab      , với , 0 a b  và 1 ab .

 

2 (1 )(1 ) 1 , , 0 a b ab a b      

II. Bất đẳng thức đối xứng hai biến Phương pháp giải 1) 2 2 2 x y xy   ; đúng ;x y  . Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi x y  ;

2)     2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 x y x y x y x y        

; đúng ;x y  . Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi x y  ;

3)  

2

4 x y xy   ; đúng ;x y  . Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi x y  ;

4)  

2 4 x y xy   ; đúng ;x y  . Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi x y  .

Trường THPT Hùng Vương GV. Nguyễn Hữu Hiếu

Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang 2

Bài 1. Cho các số thực x, y thỏa điều kiện   2 2 2 1 x y xy   . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

4 4

2 1 x y P xy

  

.

Lời giải

Đặt t xy  . Ta có:     2 1 1 2 2 4 5 xy x y xy xy xy      

Và     2 1 1 2 2 4 3 xy x y xy xy xy       . ĐK: 1 1 5 3 t   .

Suy ra :  

 

2 2 2 2 2 2 2 7 2 1 2 1 4 2 1

x y x y t t P xy t

        

.

Do đó:    

2

2 7 '

2 2 1

t t P

t

  



, ' 0 0, 1( ) P t t L    1 1 2 5 3 15 P P               

và  1 0 4 P  .

Kết luận.

1 0; 1 2 1 4 0;

2

x y MaxP

y x

     

   

và 2 1 15 3 MinP x y     .

Bài 2. Cho , 0  x y thỏa mãn 3    x y xy . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:

2 2 1 1 1 3 x y P y x x y        .

Nhận xét Trong bài toán này ta chỉ cần sử dụng phép biến đổi tương đương là xuất hiện ngay ẩn phụ. Cụ thể như sau:

Ta có:

2 2 3 2 1 ( ) 3 ( ) ( ) 2 1 1 1 3 ( ) 1 ( ) 3 x y x y xy x y x y xy P y x x y xy x y x y                    

Đặt: t x y    3 xy t  . Khi đó: 3 2 1 7 1 3 ( ) 4 4 3 2 P f t t t t t        .

Bài 3. Cho hai số thực ,x y thay đổi và thoả mãn 2 2 8 x y   . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 P x y xy    .

Lời giải

Ta có       2 2 3 8 3 P x y x y xy xy x y xy xy          .

Đặt x y t  . Do 2 2 8 x y   nên

2 8 2 t xy   . Suy ra

2 2 3

2 8 8 3 8 3. 12 12 2 2 2 2 t t t P t t t               

Do  

2 4 x y xy   nên   2 2 2 8 4 4 t t t   

Xét 

3

2 3 12 12 2 2 t f t t t     với   4;4 t .