Một số phương pháp giải hệ phương trình Nguyễn Văn Thiêm

Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/

2

Phần 1 MOÄT SOÁ LOAÏI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH THÖÔØNG GAËP

§ 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHÉP THẾ.

Cách giải hệ phương trình bằng phép thế là đưa nhiều ràng buộc về ít ràng buộc, đưa hệ nhiều phương trình về hệ ít phương trình hay là đưa hệ phương trình về phương trình. Bởi vậy, đây là cách làm tự nhiên nhất, theo quan điểm đưa cái phức tạp về cái đơn giản. Dấu hiệu nhận dạng đối với hệ phương trình giải bằng phép thế là ít nhất một trong các phương trình có thể rút được một ẩn qua các ẩn còn lại; việc thế vào những những phương trình kia cho ta phương trình hay hệ phương trình có thể giải được.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

2 1 1

3 2 4

x y x y

x y

        

( Trích đề thi dự bị số 2, đề thi TS ĐH khối A năm 2005).

Giải. Hệ phương trình đã cho tương đương với

2 1 1 6 4 2

3 3 2 2 2 2

x y x y x x

x x y y

                     

6 6 2 8 2 8 2 6 4

3 3 6 2 4 2 2 2 2 3 6 4 6 4 2 2

x x x x x x

x x x x y y

x x x y

                                              

2

2 8 2 4 0 2 2 8 0 2 3 3 3 3 2 2 2 2 6 4 0 4 0 4

x x x x x x x x x x y y y

x x x

                                                      

2 1 x y

     .

Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/

3

Nhận xét. 1. Dấu hiệu nhận ra phương pháp thế trong bài toán loại này là dễ thấy nhất. Tuy nhiên, ngay cả trong ví dụ trên, đó không phải là lựa chọn duy nhất. Chẳng hạn, viết phương trình thứ hai thành    2 1 5 x y x y      rồi đặt 2 1; u x y v x y      . 2. Khi dạy bài toán này, chúng tôi không quên nhắc nhở học sinh về điều kiện của phương trình, điều kiện của một phép biến đổi tương đương. Ngoài ra, khuyến khích các em tìm thêm cách giải khác.

Ví dụ 2. Biết rằng hệ phương trình

  2 2 a x y x y b

y x b

         có nghiệm với mọi b. Chứng minh rằng a bằng 0. ( Đề thi ĐH Luật Hà nội năm 1999)

Giải. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với y x b   Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

  2 2 2 0 a x b x x           2 2 2 2 2 0 ax ab x ab      (*).

+) Nếu 0 a  , phương trình (*) có     2 2 2 2 ' 1 2 2 1 . ab a b ab      

Lấy 4 b a  thì ' 2 9 7 0    , phương trình (*) vô nghiệm. Điều này trái với giả thiết hệ có

nghiệm với mọi giá trị của b.

+) Với 0 a  , hệ phương trình tương đương với x y b x y b       ,

luôn có nghiệm   0;b với mọi giá trị của b. Vậy 0 a  . Nhận xét. 1. Nhờ phép thế, ta đưa điều kiện có nghiệm của hệ phương trình về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. 2. Khi dạy bài này, chú ý rèn luyện cho các em học sinh kỹ năng lập luận logic. Chúng ta phủ định mệnh đề chứa lượng từ với mọi bằng cách chỉ ra nó không đúng với một giá trị của b.

Ví dụ 3. Cho hệ phương trình

  3 3 1 x y

x y m x y

       m là tham số. 1. Giải hệ phương trình khi 1 m . 2. Với giá trị nào của m, hệ đã cho có ba nghiệm phân biệt. Giải. Hệ phương trình tương đương với