Một số hệ phương trình giải bằng phương pháp đánh giá Nguyễn Văn Quốc Tuấn

Sử dụng phương pháp đánh giá để giải hệ phương trình.

I. Lý thuyết

Các bất đẳng thức quan trọng

• Bất đẳng thức Cosi.

Với n số thực không âm 1 2 3 n a ,a ,a ,.......,a ta có

n 1 2 3 n 1 2 3 n a a a ........ a n a .a .a ..........a + + + + ≥

Dấu bằng xảy ra khi 1 2 3 n a a a ....... a = = = =

• Bất đẳng thức Bunhiacoxky

Với 2 bộ sô ( ) 1 2 n a ; a ;...;a và ( ) 1 2 n b ; b ;...;b ta có:

( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n a a ... a b b ... b a b a b ... a b + + + + + + ≥ + + +

Dấu bằng xảy ra khi 1 2 n

1 2 n

a a a ... b b b = = = .

• Bất đẳng thức Svacxo.

Với 1 2 n b ,b ...b 0 > ta có: ( )

2 2 2 2 2 1 2 3 n 3 1 2 n

1 2 3 n 1 2 3 n

a a a ..... a a a a a ...... b b b b b b b ..... b

+ + + + + + + ≥ + + + +

.

Dấu bằng xảy ra khi: 3 1 2 n

1 2 3 n

a a a a ..... b b b b = = = = .

Các bất đẳng thức phụ cần ghi nhớ.

- Với a,b 0 > ta có: 1 1 4 a b a b + ≥ +

. Dấu bằng xảy ra khi a b = .

- Với ab 1 ≥thì 2 2 1 1 2 1 a 1 b 1 ab + ≥ + + +

. Với ab 1 ≤ thì bất đẳng thức đổi chiều.

Dấu bằng xảy ra khi a b 1 = =

II. Các Ví dụ và bài tập tự luyện.

Ví dụ 1: (Đề tuyển sinh đại học khối A- 2014)

Giải hệ phương trình sau ( ) 2

3

x 12 y y 12 x 12

x 8x 1 2 y 2

 − + − =  − −= − 

.

WWW.TOANMATH.COM

Lời giải

Điều kiện: 2 3 x 2 3; 2 y 12 − ≤ ≤ ≤ ≤

Với 2 số thực a,b bất kỳ ta có: ( )

2 2 2 a b a b 0 ab 2 + − ≥ ⇔ ≥

Áp dụng ta được:

( )

2

2 2 2

x y 12 x 12 y 2

12 x y y 12 x y. 12 x 2

 −+  − ≤  − +  − = − ≤ 

Nên ( ) 2 x 12 y y 12 x 12 − + − ≤ do đó: ( ) 2 x 0 1

y 12 x

≥  ⇔= − 

Thay vào ( ) 2 ta được: ( ) 3 2 3 2 x 8x 1 2 10 x x 8x 3 2 1 10 x 0 − −= − ⇔ − −+ − − =

( ) ( ) ( ) 2

2 2 x 3 x 3 x 3x 1 0 3 1 10 x

  +   ⇔ − + + + =   + −  

Do ( ) 2

2 2 x 3 x 0 x 3x 1 0 1 10 x

+ ≥ ⇒ + + + > + −

khi đó ( ) 3 x 3 y 3 ⇔ = ⇒ = ( Thỏa mãn )

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) ( ) x;y 3;3 =

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 1 1 2 1 1 2xy 1 2x 1 2y x, y 2 x 1 2x y 1 2y 2 9

 + =  + + +  ∈  − + − = 

Z

Lời giải

Điều kiện:

1 0 x 2 1 0 y 2

≤ ≤ ≤ ≤ 

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxky ta có:

( )

2

2 2 2 2 1 1 1 1 2 * 1 2x 1 2y 1 2x 1 2y

          + ≤ +           + +     + +  

Dấu bằng xảy ra 2 2 1 2x 1 2y x y ⇔ + = + ⇔ =

Ta lại có:

( ) ( ) ( )( )( )

( )

2

2 2 2 2

2 2

2 x y 2xy 1 1 1 2 0 1 2x 1 2y 1 2xy 1 2x 1 2y 1 2xy

1 1 2 ** 1 2x 1 2y 1 2xy

− − + − = ≤ + + + + + +

⇒ + ≤ + + +

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y = .

Từ ( ) * và ( ) ** ta suy ra

2

2 2 2 2 1 1 4 1 1 2 1 2xy 1 2xy 1 2x 1 2y 1 2x 1 2y

     + ≤ ⇔ + ≤     +  +  + + + +  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y = . Khi đó ( ) 1 x y ⇔ = thế xuống phương trình ( ) 2 ta

được:

( ) ( ) 2 9 73 9 73 x 1 2x x 1 2x x y 9 36 36 ± ± − + − = ⇔ = ⇒ =

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: ( ) 9 73 9 73 x;y ; 36 36

  ± ±    =     

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

3 3 2

3 2 2 x 3x 2 y 3y

x 2 x 3x y 2 x 3y

 − + = +  − + − + + = − 

Lời giải

Nhận xét: Nhìn vào phương trình đầu của hệ ta có cảm giác ngay là sử dụng hàm số đại

diện 3t 3t − nhưng cần có điều kiện của biến. Ở đây biến muốn tìm điều kiện của biến y thì chúng ta cần suy ra từ phương trình 2 nhưng khó khan nên chúng ta phải nghĩ hướng khác. Ở đây chúng ta có thể phân tích thành nhân tử nên thử đi theo hướng đó xem sao.

Điều kiện: 3 2 x 2

x 3x y 2 0

≥  − + + ≥ 

Ta có: