Tài liệu góc và khoảng cách trong không gian

Trang 1/31

CHỦ ĐỀ 6. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. GÓC:

1. Góc giữa hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng (P): 0 + + + = Ax By Cz D , (Q): ’ ’ ’ ’ 0 A x B y C z D + + + = được ký

hiệu:0 (( ),( )) 90 o o P Q ≤ ≤ , xác định bởi hệ thức

2 2 2 2 2 2 cos(( ),( )) . AA' BB' CC' P Q A B C . A' B' C'

+ + = + + + +

Đặc biệt: .0 ' ' ' ) ( ) ( = + + ⇔ ⊥ CC BB AA Q P

2. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

a) Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương ) ; ; ( c b a u = và )' ;' ;' ( ' c b a u = là φ

2 2 2 2 2 2 ' ' ' cos . ' ' '

aa bb cc

a b c a b c φ + + = + + + +

). 90 0 ( o o ≤ ≤ϕ

Đặc biệt: .0 ' ' ' )' ( ) ( = + + ⇔ ⊥ cc bb aa d d

b) Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương ) ; ; ( c b a u = và mp ) (α có vectơ pháp

tuyến ). C ; B ; A ( n =

2 2 2 2 2 2 c b a . C B A

Cc Bb Aa ) u ,n cos( sin + + + +

+ + = = ϕ ). 90 0 ( o o ≤ ≤ϕ

Đặc biệt: ) //( ) d ( α hoặc ) ( ) ( α ⊂ d .0 = + + ⇔ Cc Bb Aa

II. KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

a) Khoảng cách từ ) ; ; ( 0 0 0 z y x M đến mặt phẳng ) (α có phương trình

0 Ax by Cz D + + + = là:

. 2 2 2

0 0 0 C B A

D Cz By Ax d(M,(P)) + +

+ + + =

b) Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - khoảng cách giữa hai đường thẳng.

a) Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng dqua điểm Mocó vectơ chỉ phương u :

M M u d M d u

0 ; ( , ) .     =





b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

dđi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u và d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương 'u là:

u u M M d d d u u

0 ; ' . ( , ') . ; '

    =    

 



Trang 2/31

d) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng. B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

- Nhớ và vận dụng được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; biết cách khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. - Nhớ và vận dụng được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; biết cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song. - Nhớ và vận dụng được công thức góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng. - Áp dụngđược góc và khoảng cách vào các bài toán khác. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm ( ) 1; 2; 2 A đến mặt phẳng ( ) α :

2 2 4 0 x y z + − − = bằng:

A. 3. B. 1. C.13. 3 D. 1. 3

Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) α : 2 2 4 0 x y z − − − = và

( ) : β 2 2 2 0 x y z − − + = .

A. 2. B. 6. C. 10. 3 D. 4. 3

Câu 3. Khoảng cách từ điểm ( ) 3; 2; 1 M đến mặt phẳng (P): 0 Ax Cz D + + = , . . 0 AC D ≠ . Chọn khẳng

định đúngtrong các khẳng định sau:

A.

2 2 3 ( ,( )) A C D d M P A C

+ + = +

B.

2 2 2 2 3 ( ,( )) . A B C D d M P A B C

+ + + = + +

C.

2 2 3 ( ,( )) . A C d M P A C

+ = +

D.

2 2 3 ( ,( )) . 3 1

A C D d M P + + = +

Câu 4. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng ( ) α : 2 2 4 0 x y z − − − = và đường thẳng d:

1 2 4 x t y t z t

= +   = +  = − 

.

A. 1. 3 B. 4. 3 C. 0. D. 2.

Câu 5. Khoảng cách từ điểm ( ) 2; 4; 3 A đến mặt phẳng ( ) α : 2 2 1 0 x y z + + + = và ( ) β : 0 x = lần

lượt là ( ,( )) d A α , ( ,( )) d A β . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. ( ) ,( ) d A α 3 = . ( ) ,( ) . d A β B. ( ) ,( ) d A α > ( ) ,( ) . d A β

C. ( ) ,( ) d A α = ( ) ,( ) . d A β D. 2. ( ) ,( ) d A α = ( ) ,( ) . d A β

Câu 6. Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P):

2 3 4 0 x y z − + …