Tài liệu phương trình bậc hai và hệ số thực trên tập số phức

Trang 1/21

CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn 2z w = được gọi là một căn bậc hai của w . • . 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ( ) 2 0 , , ; 0 ax bx c a b c a + + = ∈ ≠  . Xét 2 4 b ac ∆= − , ta có

• 0: ∆= phương trình có nghiệm thực 2 b x a = − .

• 0 ∆> : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: 1,2 2 b x a −± ∆ = .

• 0 ∆< : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: 1,2 | | 2 b i x a −± ∆ = .

 Chú ý.

 Mọi phương trình bậc n : 1 1 1 ... 0 n n o n n A z A z A z A − − + + + + = luôn có n nghiệm phức (không

nhất thiết phân biệt).  Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai

( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ≠ có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét

1 2

1 2 .

b S x x a c P x x a

 = + = −   = = 

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức

• Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực

+ 0, a < a có các căn bậc hai là | | i a ± . + 0 a = , a có đúng một căn bậc hai là 0. + 0 a > , a có hai căn bậc hai là a ± . Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và i −. Hai căn bậc hai của 2 a − ( a là số thực khác 0) là ai và ai − . • Trường hợp ( ) , , 0 w a bi a b b = + ∈ ≠ 

Gọi ( ) , z x yi x y = + ∈ là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi 2z w = , tức là

( )

2 2 2 2 2 2 2

x y a x yi a bi x y xyi a bi xy b

 − = + = + ⇔ − + = + ⇔ = 

Mỗi cặp số thực ( ) ;x y nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x yi + của số

phức w a bi = + . Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của 5 12 w i = −+ . Gọi ( ) , z x yi x y = + ∈ là một căn bậc hai của số phức 5 12 w i = −+ .

Ta có ( )

2 2 2 2 2

2 4 3 5 5 12 6 2 12 2 3

x x y x y z w x yi i xy x y x y

 =     = =  − = −    = ⇔ + = −+ ⇔ ⇔ ⇔    = = − =       = −  

Vậy 5 12 w i = −+ có hai căn bậc hai là 2 3i + và 2 3i −− . 2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan

Trang 2/21

• Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: 2 1 0 z z − + = Ta có 2 4 3 0 b ac ∆= − = −<

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là 1,2 1 3 2 i x ± = .

• Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: – Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình. + Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm 1 x = . + Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm

1 x = −. + Định lý Bơdu: Phần dư trong phép chia đa thức ( ) f x cho x a − bằng giá trị của đa thức ( ) f x tại . x a =

Tức là ( ) ( ) ( ) ( ) f x x a g x f a = − −

Hệ quả: Nếu ( ) 0 f a = thì ( ) ( ) f x x a − 

Nếu ( ) ( ) f x x a −  thì ( ) 0 f a = hay ( ) 0 f x = có một nghiệm . x a =

– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau: Với đa thức ( ) 1 1 1 0 ... n n n n f x a x a x a x a − − = + + + + chia cho x a − có thương là

( ) 1 2 1 2 1 0 ... n n n n g x b x b x b x b − − − − = + + + + dư r

na 1 na − 2 na − 2a 1a 0a

a 1 n n b a −= 2 1 2 n n n b ab a − − − = + 3 2 3 n n n b ab a − − − = + 1 2 2 b ab a = + 0 1 1 b ab a = + 0 0 r ab b = +

– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ: – Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau. – Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có). – Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới. – Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm. C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH

1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.

Nhập số thuần ảo i : Phím ENG 2. Tìm các căn bậc hai của một số phức

Ví dụ 5: Khai căn bậc hai …