Tài liệu tích phân

Trang 1/80

CHỦ ĐỀ 2. TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]. a b Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [ ; ]. a b Hiệu số ( ) ( ) F b F a − được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ ; ] a b của hàm số

( ), f x kí hiệu là ( ) .

b

a f x dx ∫

Ta dùng kí hiệu ( ) ( ) ( ) b a F x F b F a = − để chỉ hiệu số ( ) ( ) F b F a − . Vậy ( ) ( ) ( ) ( )

b b a a f x dx F x F b F a = = − ∫ .

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ( )

b

a f x dx ∫ hay ( ) .

b

a f t dt ∫ Tích phân đó

chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [ ; ] a b thì tích phân

( )

b

a f x dx ∫ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x = , trục Ox và hai đường

thẳng , . x a x b = = Vậy ( ) .

b

a S f x dx = ∫

2. Tính chất của tích phân

1. ( ) 0

a

a f x dx = ∫ 2. ( ) ( )

b a

a b f x dx f x dx = − ∫ ∫

3. ( ) ( ) ( )

b c c

a b a f x dx f x dx f x dx + = ∫ ∫ ∫ ( a b c < < ) 4. . ( ) . ( ) ( )

b b

a a k f x dx k f x dx k = ∈ ∫ ∫ 

5. [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫ .

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Một số phương pháp tính tích phân

I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức

Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:

a)

1

3 0 I (1 ) dx x = + ∫ . b)

1

0 I 1 x dx x = + ∫ . c)

1

0

2 9 I 3 x dx x + = + ∫ . d)

1

2 0 I 4 x dx x = − ∫ .

Hướng dẫn giải

a)

1 1 1

3 3 2 0 0 0

(1 ) 1 3 I 8 (1 ) (1 ) 2(1 ) dx d x x x x + = = = − = + + + ∫ ∫ .

b) ( )

1 1 1 0 0 0

1 I 1 ln( 1) 1 ln 2 1 1 x dx dx x x x x   = = − = − + = −   + +   ∫ ∫ .

c) ( )

1 1 1

0 0 0

2 9 3 I 2 2 3ln( 3) 3 6ln 2 3ln3 3 3 x dx dx x x x x +   = = + = + + = + −   + +   ∫ ∫ .

d) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 0 0 0

4 1 3 I ln | 4 | ln 2 4 4 4

d x x dx x x x

− = = − = − = − − ∫ ∫ .

Bài tập áp dụng

1)

1 3 4 5

0 I ( 1) x x dx = − ∫ . 2) ( )

1 3

0 I 2 1 x x dx = + + ∫ .

Trang 2/80

3)

1

0 I 1 x xdx = − ∫ . 4)

16

0 I 9

dx x x = + − ∫ .

II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

Sử dụng tính chất [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 2: Tính tích phân

2

2 | 1| I x dx

− = + ∫ .

Hướng dẫn giải

Nhận xét: 1, 1 2 1 . 1, 2 1 x x x x x + −≤ ≤  + = −− − ≤ < − 

Do đó

( ) ( )

1 2 2 1 2 1 2 2 2

2 2 1 2 1 2 1 | 1| | 1| | 1| 1 1 5. 2 2 x x I x dx x dx x dx x dx x dx x x

− − −

− − − − − − −

    = + = + + + = − + + + = − + + + =         ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Bài tập áp dụng

1)

3 2

4 | 4| I x dx

− = − ∫ . 2)

2 3 2

1 | 2 2| I x x x dx

− = − − + ∫ .

3)

3

0 | 2 4| x I dx = − ∫ . 4)

2

2

2| sin | I x dx

π

π − = ∫ . 5)

0 1 cos2 I xdx

π = + ∫ .

III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số

1) Đổi biến số dạng 1 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]. a b Giả sử hàm số ( ) u u x = có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ] a b và ( ) . u x α β ≤ ≤ Giả sử có thể viết ( ) ( ( )) '( ), [ ; ], f x g u x u x x a b = ∈ với g liên tục trên đoạn [ ; ]. α β Khi đó, ta có

( )

( ) ( ) ( ) .

u b b

a u a I f x dx g u du = = ∫ ∫

Ví dụ 3: Tính tích phân

2 2

0 sin cos I x xdx

π

= ∫ .

Hướng dẫn giải

Đặt sin . u x = Ta có cos . du xdx = Đổi cận: 0 (0) 0; 1. 2 2 x u x u π π   = ⇒ = = ⇒ =    

Khi đó

1 2 2 2 3

0 0

1 1 1 sin cos . 0 3 3 I x xdx u du u

π

= = = = ∫ ∫

Bài tập áp dụng

1)

1 2

0 1 I x x dx = + ∫ . 2)

1 3

0 1 I x x dx = + ∫ .

3)

1

1 ln e x I dx x + = ∫ . 4)

2

2 2 ln

e

e

dx I x x = + ∫ .

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ

1 Có ( ) f x ( ) t f x =

3 3

0 1 x dx I x = + ∫ . Đặt 1 t x = +