Bài giảng trong tâm toán 12 hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

139

chương 2 − hàm số luỹ thừa,

hàm số mũ và hàm số lôgarit

A. Kiến thức cần nhớ

I. luỹ thừa Định nghĩa 1: (Luỹ thừa với số mũ nguyên): Với a ≠ 0, n = 0 hoặc n là một số nguyên âm, luỹ thừa bậc n của a là số an xác định bởi:

a0 = 1,

an = n 1 a− với n nghuyên âm.

Định nghĩa 2: (Căn bậc n): Với n nguyên dương căn bậc n của số thực a là số thực b (nếu có) sao cho bn = a. Ta thừa nhận hai khẳng định sau đây:

 Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n, kí hiệu n a .  Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau. Căn có giá trị dương kí hiệu là n a (còn gọi là căn số học bậc n của a), căn có giá trị âm kí hiệu là và −n a . Định nghĩa 3: (Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ): Cho a là số thực dương và r là một số hữu

tỉ. Giả sử r = m

n , trong đó m là một số nguyên còn n là một số

nguyên dương. Khi đó, luỹ thừa của a với với sô mũ r là số ar xác định bởi:

ar =

m n a = n m a .

Từ đó n a =

1 n a . Tính chất của luỹ thừa: Với a > 0, b > 0, ta có:

1. an.am = an + m.

2.

m

n a

a = an − m.

3. (am)n = am.n.

4. (ab)n = an.bn.

5.

n a b      

=

n

n a b .

Định lÝ 1: Cho m, n là những số nguyên. Khi đó:

1. Với a > 1 thì am > an khi và chỉ khi m > n. 2. Với 0 < a < 1 thì am > an khi và chỉ khi m < n.

II. lôgarit Định nghĩa1: Cho 0 < a ≠ 1, b > 0, ta định nghĩa

α = logab ⇔ b = aα, α = lgb ⇔ b = 10α, α = lnb ⇔ b = eα, từ định nghĩa ta được:

loga1 = 0, logaaα = α; logaab = b, với mọi b; b loga a = b với b > 0.

140

So sánh hai lôgarit cùng cơ số Định lÝ 1: Cho các số dương b và c.

(1). Khi a > 1 thì logab > logac ⇔ b > c.

Hệ quả: Khi a > 1 thì logab > 0 ⇔ b > 1. (2). Khi 0 < a < 1 thì logab > logac ⇔ b < c.

Hệ quả: Khi 0 < a < 1 thì logab > 0 ⇔ b < 1. (3). logab = logac ⇔ b = c.

Các quy tắc tính lôgarit Định lÝ 2: Với a dương khác 1 và các số dương b, c, ta có:

(1). logab + logac = loga(bc),

Trường hợp chỉ có bc > 0 thì loga(xy) = logab + logac.

(2). logab − logac = loga b c ,

trường hợp chỉ có bc > 0 thì loga b c = logab − logac.

(3). logabα = αlogab,

Trường hợp b ∈  và α = 2k, k ∈ Z thì logabα = αlogab. Hệ quả: Với n nguyên dương thì

loga 1 b = −logab; loga

n b = 1 n logab.

Đổi cơ số của lôgarit Định lÝ 3: Với a, b dương khác 1 và số dương c, ta có:

logbc = a

a

log c log b hay logab.logbc = logac.

Hệ quả: Ta có:

 Với a, b dương khác 1 thì logab = a log 1

b

.

 Với a dương khác 1, c là số dương và α ≠ 0, ta có a log c α = α 1 logac.

Trường hợp a ∈ , a ≠ 1 và α = 2k, k ∈  thì a log c α = α 1 log|a|c.

III. Hàm số mũ Định nghĩa: Hàm số mũ cơ số a (0 < a ≠ 1) có dạng y = ax. Đạo hàm của hàm số mũ: Ta ghi nhận các kết quả sau:

a.

x 0 lim →

xe 1 x − = 1.

b. Với mọi x ∈ , ta có (ex)' = ex và (ax) = ax.lna.

141

c. Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J thì với mọi x ∈ J, ta có

(eu)' = u'.eu và (au) = u'.au.lna. Xét hàm số y = ax, 0 < a ≠ 1, ta có các tính chất sau: 1. Liên tục trên . 2. Sự biến thiên: Hàm số đơn điệu với mọi x.

 Với a > 1 thì 1 x a > 2 x a ⇔ x1 > x2, tức là hàm số đồng biến.  Với 0 < a < 1 thì 1 x a > 2 x a ⇔ x1 < x2, tức là hàm số nghịch biến.

3. Đồ thị của hàm số có 2 dạng và:

 Luôn cắt trục Oy tại A(0; 1).  Nằm ë phía trên trục hoành.  Nhận trục hoành làm tiệm cân ngang.

IV. Hàm số lôgarit Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số a (0 < a ≠ 1) có dạng y = logax. Đạo hàm của hàm số mũ: Ta ghi nhận các kết quả sau:

a.

x 0 lim →

ln(x 1) x + = 1.

b. Với mọi x ∈ (0; +∞), ta có (lnx)' = 1 x và (logax)' = 1 x.lna .

c. Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J thì với mọi x ∈ J, ta có

(lnu)' = u' u và (logau)' = u' u.lna .

Xét hàm số y = logax, với 0 < a ≠ 1, ta có các tính chất sau: 1. Hàm số liên tục trên D = (0, + ∞) và tập giá trị I = . 2. Sự biến thiên: Hàm số đơn điệu với mọi x.

 Với a > 1 thì logax1 > logax2 ⇔ x1 > x2, tức là hàm số đồng biến.  Với 0 < a < 1 thì logax1 > logax2 ⇔ x1 < x2, tức là hàm số nghịch biến. 3. Đồ thị của hàm số có 2 dạng và:

 Luôn cắt trục Oy tại A(1; 0).  Nằm ë bên phải trục …