Chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân môn Toán lớp 12 đầy đủ chi tiết

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 1

CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ BẢNG ĐẠO HÀM: 1. Qui tắc tính đạo hàm:

     

' '

2 2

1. ' ' ' '

2. . ' ' ' ( )' . '

' ' . ' 3. ( 0)

u v w u v w

u v u v v u ku k u k

u u v v u k k v k v v v v

   

    

                 



2. Bảng đạo hàm:

1 ( )' 0, ' 1 C x   ( )' kx k  2

1 ( )' . x x      1 ( )' . . ' u u u     

3

'

2 1 1 x x      

'

2 1 'v v v      

4  

' 1 2 x

x   

' ' 2

u u

u 

5 (sin )' cos x x  (sin )' '.cos u u u  6 (cos )' sin x x  (cos )' '.sin u u u 

7

2 2 1 (tan )' 1 tan cos x x x  

2 2

' (tan )' '(1 tan ) cos

u u u u u   

8

2 2 1 (cot )' (1 cot ) sin x x x   

2 2

' (co t )' '(1 cot ) sin

u u u u u   

9 (e )' e x x  (e )' e . ' u u u  10 ( )' .ln x x a a a  ( )' .ln . ' u u a a a u 

11 1 (ln )' x x 

' (ln )' u u u 

12 1 (log )' ln a x x a 

' (log )' ln a

u u u a 

II. NGUYÊN HÀM

1.Định nghĩa: Cho hàm số ( ) f x xác định trên K ( K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng) Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K nếu '( ) ( ), . F x f x x K   Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x thì họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

( ) f x được kí hiệu là: ( ) ( ) , . f x dx F x C C     

2. Các tính chất của nguyên hàm:

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 2

 

( 0)

1 4)

k

C a





     



f' x dx = f x C

kf x dx = k f x dx

f x g x dx = f x dx g x dx

f ax + b dx = F ax + b

1) ( ) ( )+

2) ( ) ( )

3) ( )± ( ) ( ) ± ( )

( ) ( )

3. Sự tồn tại của nguyên hàm: Mọi hàm số ( ) f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

4. Bảng nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng:

1 dx = x+C f ax b dx = F ax b C a

1 ( + ) ( + )+

2 

 



1 x x dx = C 1

+

+ + 

 



1 ax b ax b dx = . C a 1

+ 1 ( + ) ( + ) + +

3 xdx = x +C 3 2 3 ax b dx = ax b C 3 2 + ( + ) + 3a

4 1 ln dx x C x    1 1 ln dx ax b C ax b a     

5 2 1 1 dx C x x      dx = . C ax b ax b 2 1 1 1 + ( + ) a +

6 1 1 1 ( 1) ( 1) dx C x x            1 1 1 ( 1) ( ) ( 1)( ) dx C ax b a ax b             

7 

x x e dx = e C + 

ax b ax b e dx = e C a

+ + 1 +

8 ln 

x x a a dx = C a + ln 

   

x x a a dx = C a a

+ + 1 +

9 cos sin  xdx = x C + cos sin  ax b dx = ax b C a

1 ( + ) ( + )+

10 sin cos   xdx = x C + sin cos   ax b dx = ax b C a

1 ( + ) ( + )+

11 tan cos  dx = x C x 2 1 + tan cos  dx = ax b C ax b a 2

1 1 ( + )+ ( + )

12 cot sin   dx = x C x 2 1 + cot sin   dx = ax b C ax b a 2

1 1 ( + )+ ( + )

III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1. Phương pháp đổi biến số: Tính   )dx f u x .u' x ( ) (

1) Nếu  t = u x dt = u' x dx ( ) ( )

2) Tính     f u x .u' x dx = f t dt ( ) ( ) ( )

Thường được áp dụng cho các dạng sau:

STT Dạng Cách đặt

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 3

1 Luỹ thừa bậc lẻ đối với sinx cos sin  t = x dt = - xdx 2 Luỹ thừa bậc lẻ đối với cosx sin os  t = x dt = c xdx 3 Luỹ thừa bậc lẻ cả hai đối với sinx và cosx. sin t = x hoặc cos t = x

4 Luỹ thừa bậc chẵn cả hai đối với sinx và cosx. 2 1 tan cos t x dt dx x   

5 Chứa căn bậc hai  f x  2 t = f x t = f x ( ) ( )

7 Chứa

1 ln và x x ln  1 t = x dt = dx x

8 

P x dx Q' x = k.P x Q x

( ) có ( ) ( ) ( ) (có mẫu) t =Q x( )(t = mẫu)

3. Phương pháp nguyên hàm từng phần:   udv = uv - vdu Thường được áp dụng cho các dạng sau:

STT Dạng Cách đặt

1

sin

cos   

ax b

P x . ax b dx

P x .e dx +

( ) ( + )

( ) ( + )

( )

phaàn coøn laïi   

u = P x

dv =

( )

2 ln P x . ax b dx ( ) ( + ) ln(   

u = ax b

dv = P x dx

+ )

( )

3

sin

cos  

 

 

x

x

e . ax b dx

e . ax b dx

+

+

( + )

( + ) ( ) phaàn

   

 

từng phần 2 lần còn lại

x u = e

dv

+

4 

2 x a dx ±

 

2 u = x a dv = dx

±

IV. MỘT SỐ KĨ THUẬT TRONG VIỆC TÍNH NGUYÊN HÀM

 Nguyên hàm hàm số hữu tỉ: ( ) ( ) P x dx Q x 

a) Nếu bậc của tử thức P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thức …