Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 có đáp án - Đề 3

UBND HUYỆN GIA VIỄN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Môn: Toán Năm học: 2014- 2015 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (5 điểm) Cho biểu thức: . a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

Câu 2. (4 điểm) Giải các phơng trình sau:

a) = 0

b)

c)

Câu 3. (3 điểm)

1) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - 1

2) Tìm a,b sao cho chia hết cho đa thức

3) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0.Tính: Câu 4. (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm M bất kì (CM < CD), vẽ hình vuông CMNP (P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại H, MP cắt BD tại K.

a) Chứng minh: DH vuông góc với BM.

b) Tính Q = c) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM2

Câu 5. (1,5 điểm)

1) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng: 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

---------------- Hết ----------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN GIA VIỄN PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8

Năm học 2014 - 2015

Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề

(Hướng dẫn này gồm 05 câu, 05 trang) CHÚ Ý : - Nếu HS làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đó

Câu Đáp án Biểu điểm 1 (5 điểm) Cho biểu thức: . a) (3,5 điểm) * ĐKXĐ: 1,0 điểm

Giá trị của A được xác định ⇔

⇔ ⇔ ⇔ - ĐKXĐ :

(Nếu HS chỉ nêu ĐKXĐ: cho 0,25 điểm) * Rút gọn : 3,0 điểm

Ta có

0,25 điểm

0,5 điểm

0,25 điểm

0,75 điểm

0,75 điểm

0,75 điểm

0,75 điểm

b) (1,0 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

* Z x +1 ∈ ⇔ 2x 2x + 2 ⇒ 2x Mà 2x 2x 2 ⇒ 2x 1 ⇒ x x = 1 hoặc x = -1 ⇒

0,5 điểm 0,25 điểm

* Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ)

Vậy A= Z x = 1 hoặc x = -1 ∈ ⇔ 0,25 điểm

2 (4 điểm)

Giải các phơng trình sau:

a) (1,5 điểm) = 0 (x ⇔ 2 + 2x) (x2 + 2x + 2) + 1 = 0 (x ⇔ 2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1 = 0 (x ⇔ 2 + 2x + 1)2 = 0 (x+1) ⇔ 4 = 0 x + 1 = 0 x = -1 ⇔ ⇔ Vậy PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = -1

0,5 điểm

0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

b) (1,5 điểm)

⇔

⇔ y + 1 = 0 hoặc ⇔ = 0 y = -1 hoặc x = 0 ⇔ Vậy PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (0; -1)

0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm

c) (1,0 điểm)

(1) - ĐKXĐ: x ≠ -2; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ -8

- PT (1) ⇔

⇔

⇔

⇔

⇔

x = 0 hoặc ⇔ = x = 0 hoặc x ⇔ 2 + 6x + 8 = x2 + 14x + 48 x = 0 hoặc 8x = - 40 x = - 5 (thỏa mãn ĐKXĐ) ⇔ ⇔ Vậy PT đã cho có 2 nghiệm : x1 = 0; x2 = - 5

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

1) (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - 1 - HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1) - Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài - Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 - Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

3 (3 điểm)

- Vậy n = 2 thì p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố 0,25 điểm

2) (1,0 điểm) Tìm a,b sao cho chia hết

cho đa thức

* = (x -1)(x - 2)

*

⇔ = (x – 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi x R) ∈ - Thay x1 = 1, x2 = 2 vào (1) ta có: a + b + 6 = 0 và 8a + 4b + 16 = 0

a = 2 và b = -8 ⇒

Vậy a = 2 và b = -8 ⇔

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

3) (1,0 điểm)

Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0.Tính: - HS biến đổi được : 4a2 + b2 = 5ab ⇔ (4a - b)(a -b) = 0 ⇔ b = 4a hoặc b = a - Mà 2a > b > 0 4a > 2b > b nên a = b ⇒

- Ta có : =

- Vậy 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0 thì

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

4 (6,5 điểm)

- Hình vẽ 0,25 điểm

a) (2,25 điểm) Chứng minh: DH vuông góc với BM

- HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900

- CM: Δ DPC = Δ BMC (cgc) - Chứng minh được BHP = 900

0,75 điểm 0,75 điểm

0,75 điểm

b) (2,0 điểm) Tính Q =

- HS CM : MP BD ⊥ 0,5 điểm

0,5 điểm