5 bài tập Tích phân dạng đặc biệt có lời giải Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân

Trang 43

TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT

Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x 4 ( ) ( ) cos    với mọi xR.

Tính: I f x dx 2

2

( )



   .

 Đặt x = –t  f x dx f t dt f t dt f x dx 2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( )( ) ( ) ( )

   

   



  

          

 f x dx f x f x dx xdx 2 2 2 4

2 2 2

2 ( ) ( ) ( ) cos

  

     

            I 3 16

 

Chú ý: x x x 4 3 1 1 cos cos2 cos4 8 2 8    .

Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x ( ) ( ) 2 2cos2     , với mọi xR.

Tính: I f x dx

3

2

3 2

( )



   .

 Ta có : I f x dx f x dx f x dx

3 3 0 2 2

0 3 3 2 2

( ) ( ) ( )

 

   

      (1)

+ Tính : I f x dx 0

1

32

( )

 

 . Đặt x t dx dt    I f t dt f x dx

3 3 2 2

1

0 0 ( ) ( )

 

     

Thay vào (1) ta được:   I f x f x dx x x dx

3 3 3 2 2 2

0 0 0 ( ) ( ) 2 1 cos2 2 cos

  

            

xdx xdx

3 2 2

0

2

2 cos cos

 



                x x 20

3

2 2 sin sin 6

2

 



              

Câu 3. x I dx x x

4

2

4

sin

1



 



  

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng

Trang 44

 I x xdx x xdx I I 4 4 2

1 2

4 4

1 sin sin

 

   

      

+ Tính I x xdx 4 2 1

4

1 sin



 

   . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được I1 0  .

+ Tính I x xdx 4

2

4

sin



 

 . Dùng pp tích phân từng phần, ta tính được: I2

2 2 4   

Suy ra: I 2 2 4    .

Câu 4.    

5

2

3 2 1

1 1

x

x e x x I dx e x x

   

   

    

     

   

5 5 5 5

2 2 2 2

3 2 1 1 1 2 1 2 1

1 1 1 1 1 1

                        

x x x x

x x x e x x e x x e x e x I dx dx dx dx e x x e x x e x x

    5 5

2 2

5 2 1 2 1 3 2 1( 1 1) 1( 1 1)

           

x x

x x e x e x x dx dx x e x x e x

Đặt   2 1 1 1

2 1

   



x x e x t e x dt dx x

5

2

5 2 1 5

2 2 1

2 1 2 2 1 3 3 2ln 3 2ln 1 1





            

e

e

e e I dt I t t e e

Câu 5. x I dx x x x

2 4

2 0 ( sin cos )





  .

 x x x I dx x x x x

4

2 0

cos . cos ( sin cos )





  . Đặt

x u x

x x dv dx x x x 2

cos

cos

( sin cos )

 

 

 



x x x du dx x

v x x x

2 cos sin

cos

1 sin cos

        

 x dx I dx x x x x x

4 4

2 0 0 cos ( sin cos ) cos

 

    = 4

4

    .

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.

transitung_tv@yahoo.com