Tổng hợp bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Nhóm Toán

Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017

1

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

(TỰ LUẬN) Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2

1. Kiến thức liên quan

1.1. Công thức nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng

dx x C    . , a a dx ax C    

1

, 1 1 x x dx C

   

     

1 1 ( ) ( ) . 1 ax b ax b dx C a

 



      

ln , x 0 dx x C x     1.ln dx ax b C ax b a     

x x e dx e C    1. ax b ax b e dx e C a

    

ln

x x a a dx C a    1 . ln

x x a a dx C a

   



    

cos sin xdx x C    1 cos( ) .sin( ) ax b dx ax b C a     

sin cos xdx x C    1 sin( ) .cos( ) ax b dx ax b C a     

2 1 tan cos dx x C x    2

1 1 tan( ) cos ( ) dx ax b C ax b a     

2 1 sin dx cotx C x    2

1 1 ( ) sin ( ) dx cot ax b C ax b a     

1.2. Công thức tích phân

F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì

Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017

2

( ) ( ) ( ) ( )

b

b

a a

f x dx F x F b F a    

1.3. Phương pháp đổi biến số

1.3.1. Dạng 1 : Tính I =  

' ( ) ( )

b

a

f x x dx   

+ Đặt t = ( )x  '( ). dt x dx   

+ Đổi cận :

( )

( )

( ) ( ). ( ) ( )

b

a

b f t dt F t a





     I =

1.3.2. Dạng 2 : Tính I = ( )

b

a

f x dx  bằng cách đặt x = ( )t 

Dạng chứa 2 2 a x  : Đặt x = asint, t ; 2 2        

(a>0)

1.4. Phương pháp tích phân từng phần

* Công thức tính : ( )

b b b b

a a a a f x dx udv uv vdu      

 Đặt

Ta thường gặp hai loại tích phân như sau: * Loại 1:

  

 



   

) ( ...

) ( ... ... ...

ham nguyen lay v

ham dao lay dx du dv

u

x a b

t ( ) a  ( ) b 

Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017

3

( )

( ).sin ( ).

( ).cos ( ). ( )

( ). .

b

a

b

a

b

f x

a

P x f x dx

P x f x dx u P x

P x e dx

          







, trong đó ( ) P x là đa thức bậc n.

*Loại 2: ( ).ln ( ). ln ( )

b

a

P x f x dx u f x   

1.5. Tính chất tích phân

Tính chất 1: ( ) ( )

b b

a a kf x dx k f x dx    , k: hằng số

Tính chất 2:   ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx      

Tính chất 3: ( ) ( ) ( ) ( )

b c b

a a c f x dx f x dx f x dx a c b       

1.6. Diện tích hình phẳng

1.6.1. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:

( )

b

a S f x dx  (*)

Lưu ý:

 ( ) 0 f x  vô nghiệm trên (a;b) thì

( ) ( )

b b

a a S f x dx f x dx    

 ( ) 0 f x  có 1 nghiệm ( ; ) c a b  thì

( ) ( ) ( )

b c b

a a c S f x dx f x dx f x dx      

Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017

4

1.6.2. Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:

1 2 ( ) ( )

b

a S f x f x dx    (**)

Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức (*).

1.7. Thể tích vật thể tròn xoay

Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:

2( )

b

a V f x dx  

Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau

   

 

1 1

0 0 0

4 2

3 1 0

1/ (2x+e ) x 2 / 2 3 3/ sinx+cos

2 3 4 / 5 / sin 2

x x x A d B e dx C x dx

x x D dx E x x dx x





   

          

  

 

Lời giải

 

1 1 1 1 1 2

0 0 0 0 0 1/ 2 2 1 0 1 x x x A x e dx xdx e dx x e e e           

     

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

2 2 2 1 3 2 / 2 3 2 3 2 3 ln2 ln2 ln2 ln2

x x x x x x e e B e dx e dx dx e e                  

  0 0 0 0 0 3/ sinx cos sinx cos cos sin 2 C x dx dx xdx x x

  

           