Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp

1 TÍCH PHÂN

I.CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản

2.Phƣơng pháp tích phân từng phần.

Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên   ;a b thì:

  ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a

b u x v x dx u x v x v x u x dx a    

hay

b b

a a

b udv uv vdu a     .

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:

 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng

' udv uv dx  bằng cách chọn một phần thích hợp

của f(x) làm u(x) và phần còn lại

'( ) . dv v x dx 

 Bước 2: Tính

' du u dx  và

'( ) v dv v x dx     .

 Bước 3: Tính

'

b b

a a vdu vu dx    và b uv a

.

 Bước 5: Áp dụng công thức trên.

Ví dụ 5: a)Tính tích phân

3

2 1

3 ln x I dx (x 1)     (ĐH-KB-2009)

3 3 3

2 2 2 1 1 1

3 3

1 2 1 1

3

2 2 1

3 ln x dx ln x I dx 3 dx (x 1) (x 1) (x 1)

dx 3 3 I 3 (x 1) (x 1) 4

ln x I dx (x 1)

      

     

 

  





Đặt u = lnx dx du x  

2 dx dv . (x 1)   Chọn 1 v x 1   

3 3 3 3

2

1 1 1 1

lnx dx ln3 dx dx ln3 3 I ln x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2             

2

Vậy : 3 I (1 ln3) ln2 4   

b) Tính

1

ln

e

x xdx 

Giải: Đặt ln u x dv xdx     

2

2

dx du x x v

   

 

2 2 2 2

1 1

1 1 ln ln 1 1 2 2 2 4 4

e e e e x e x e x xdx x xdx         .

Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:

a)

2

5

1

ln x dx x b)

2

0

cos x xdx

  c)

1

0

x xe dx  d)

2

0

cos xe xdx

 

Giải: a) Đặt

5

4

ln

1 1 4

dx u x du x dv dx v x x

              

. Do đó:

2 2 2 2

5 4 5 4 1 1 1 1

ln ln 1 ln 2 1 1 15 4ln 2 4 4 64 4 4 256 x x dx dx x x x x

               .

b) Đặt cos sin u x du dx dv xdx v x           

. Do đó:

 

2 2

0 0 cos sin sin cos 1 2 2 2 2 0 0 x xdx x x xdx x

              .

c)Đặt x x u x du dx

dv e dx v e

          

. Do đó:

 

1 1

0 0

1 1 1 1 0 0

x x x x xe dx xe e dx e e e e           .

3

d) Đặt cos sin

x x u e du e dx dv xdx v x

          

2 2

0 0 cos sin sin 2 0

x x x e xdx e x e xdx

        .

Đặt

1 1

1 1 sin cos

x x u e du e dx

dv xdx v x

          

2 2

2

0 0 cos cos cos 2 0

x x x e xdx e e x e xdx

 

        .

2 2 2 2

0 0

1 2 cos 1 cos . 2

x x e e xdx e e xdx

          

*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

( )

b

x

a

P x e dx  ( )ln

b

a

P x xdx  ( )cos

b

a

P x xdx  cos

b

x

a

e xdx 

u P(x) lnx P(x) xe

dv xe dx P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn

u và

' dv v dx  thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn

u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn

' dv v dx  là phần của f(x)dx là

vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:

4

 Nếu tính tích phân ( ) ( ) P x Q x dx



 mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong

những hàm số: , cos , sin ax e ax ax thì ta thường đặt

'( ) ( )

( ) ( )

du P x dx u P x dv Q x dx v Q x dx

           

 Nếu tính tích phân ( ) ( ) P x Q x dx



 mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số

ln(ax) thì ta đặt

 ' ( )

( ) ( )

du Q x dx u Q x dv P x dx v P x dx

           

 Nếu tính tích phân cos ax I e bxdx



  hoặc sin ax J e bxdx



  thì

ta đặt 1 cos sin

ax ax du ae dx u e dv bxdx v bx b

           

hoặc đặt 1 sin cos

ax ax du ae dx u e dv bxdx v bx b

           

Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích

phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.

3. Phƣơng pháp đổi biến số

Bài toán: Tính ( )

b

a I f x dx  ,

*Phương pháp đổi biến dạng I

Định lí . Nếu 1) Hàm ( ) x u t  có đạo hàm liên tục trên đoạn   ; ,

2) Hàm hợp ( ( )) f u t …