Hướng dẫn giải các dạng toán sự đồng biến và nghịch biến của hàm số Đặng Việt Đông

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Định nghĩa 1. Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và   y f x là một hàm số xác định trên K.

Ta nói: + Hàm số   y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

   1 2 1 2 1 2 , ,      x x K x x f x f x

+ Hàm số   y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

   1 2 1 2 , ,      x x K x x f x f x

  ;  x a b . Ta có nhận xét sau:

4. Định lí 2. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f nghịch biến trên K.

c) Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f không đổi trên K. Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn:

1 2 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K. 2. Nhận xét. a. Nhận xét 1. Nếu hàm số f x và gx cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f xg x cũng đồng

biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f xgx.

b. Nhận xét 2. Nếu hàm sốf x và gx là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số

f x.gx cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số

f x, gx không là các hàm số dương trên D.

c. Nhận xét 3. Cho hàm số u ux, xác định với xa;b và uxc;d. Hàm số f ux cũng xác định với

i. Giả sử hàm số u ux đồng biến với xa;b. Khi đó, hàm số f ux đồng biến với

xa;bf u đồng biến với u c;d.

ii. Giả sử hàm số u ux nghịch biến với xa;b. Khi đó, hàm số f ux nghịch biến với

xa;bf unghịch biến với u c;d.

3. Định lí 1. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f 'x0,xK .

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f 'x0,xK .

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn   ;a b và    ' 0, ;   f x x a b thì hàm số f đồng biến trên đoạn

  ;a b .

Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau: 5. Định lí 3.(mở rộng của định lí 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

1 2 1 2 B. Với mọi    1 2 1 2 ,    x x R f x f x .

C. Với mọi 1 2 1 2 D. Với mọi     1 2 1 2     x x R f x f x .

   1 2 1 2       x x f x f x .

Câu 2: Cho hàm số  3 2 2 3 3    f x x x x và 0   a b. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Hàm số nghịch biến trên . C.  0  f b .

B.    f a f b . D.    f a f b .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D. Ta có :  2 0 6 6 3        x f x x x Hàm số nghịch biến trên  .

   0 0 0       a b f f a f b .

Câu 3: Cho hàm số ( )  y f x có đạo hàm trên   ;a b . Phát biểu nào sau đây là đúng ?

a) Nếu f 'x0,xK và f 'x0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu f 'x0,xK và f 'x0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

B - BÀI TẬP

DẠNG 1: TÌM KHOẢNG ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số y f x

+) f 'x0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

+) f 'x0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.

Quy tắc: +) Tính f 'x, giải phương trình f 'x0 tìm nghiệm.

+) Lập bảng xét dấu f 'x. +)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Câu 1: Cho hàm số f x đồng biến trên tập số thực , mệnh đề …