Lý thuyết về phương trình và bất phương trình chứa căn thức môn toán

Chuyên đề 3:

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA CĂN THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Các điều kiện và tính chất cơ bản :

* A có nghĩa khi A 0 ≥ * 0 ≥ A với A 0 ≥

* A A = 2 &

⎩ ⎨ ⎧ <

≥ = 0 A nếu A -

0 A nếu A A

* ( ) A A = 2 với A 0 ≥

* B A B A . . = khi A , B 0 ≥ * B A B A − − = . . khi A , B ≤ 0

13

II. Các định lý cơ bản : a) Định lý 1 : Với A 0 và B ≥ 0 thì : A = B ≥ ⇔ A2 = B2

b) Định lý 2 : Với A 0 và B 0 thì : A > B ≥ ≥ ⇔ A2 > B2

c) Định lý 3 : Với A, B bất kỳ thì : A = B ⇔ A3 = B3

A > B ⇔ A3 > B3

III. Các phương trình và bất phương trình căn thức cơ bản & cách giải :

* Dạng 1 : A 0 (hoặc B 0 ) A B A B

≥ ≥ ⎧ = ⇔⎨ = ⎩

* Dạng 2 : 2 B 0 A B A B

≥ ⎧⎪ = ⇔⎨ = ⎪⎩

* Dạng 3 :

2

A 0 A B B 0

A B

⎧ ≥ ⎪ < ⇔ > ⎨ ⎪ < ⎩

* Dạng 4:

2

A 0

B 0 A B B 0

A B

⎡ ≥ ⎧ ⎨ ⎢ < ⎩ ⎢ > ⇔⎢ ≥ ⎧⎪ ⎢⎨ ⎢ > ⎪⎩ ⎣

IV. Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng :

* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản Ví dụ 1 : Giải phương trình sau : 1) 4 2 − = − x x

2) 0 2 1 9 3 2 = − + + − x x x

3) 4 1 1 2 2 2 = + − + + + x x x

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1)

2 3x x 1 y x 1 x 5 − + =

+ + −

2)

2

2 x x 1 y 2x 1 x 3x 1 − + =

−+ − +

Ví dụ 3: Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

1 2 2 2 + = + + x mx x

* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 1 3 4 9 2 + + − = + x x x 2) 0 1 2 3 1 5 = − − − − − x x x

* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ pt đại số Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) x x x x 3 3 ) 2 )( 5 ( 2 + = − +

2) 5 ) 4 )( 1 ( 4 1 = − + + − + + x x x x

4) 1 1 2 3 − − = − x x

5) 2 2 x 3x 3 x 3x 6 3 − + + − + =

* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số : A.B = 0 hoặc A.B.C = 0 Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) x x x

x − = − − − 1 2 3 2 3

2

2) 2 x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1 + − = −+ − + − + V. Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng :

* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) 1 3 4 2 + < + − x x x 2) 3 2 5 4 2 ≥ + + − x x x

3) 1 4 2 < + + x x x 4) 2 ) 4 )( 1 ( − > − + x x x

* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 1) x 3 2x 8 7 x + > − + −

14

2) x 11 2x 1 x 4 + − −≥ −

* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) 3 4 2 4 5 2 2 2 + + ≤ + + x x x x

2) 1 2 3 3 4 2 2 2 > − − + + x x x x

* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số hoặc thương Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) 0 2 3 2 ) 3 ( 2 2 ≥ − − − x x x x

2) 1 4 3 5 < − − + x x

----------------------------------Hết--------------------------------------

15