Bài tập có đáp án chi tiết về phương trình môn toán của thầy nguyễn hữu biển

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

PHỔ BIẾN NHẤT TRONG THI ĐẠI HỌC

CẨM NANG CHO MÙA THI

NGUYỄN HỮU BIỂN

https://www.facebook.com/ng.huubien Email: ng.huubien@gmail.com

(ÔN THI THPT QUỐC GIA)

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC

Trang 1 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

Bài 1: Giải phương trình ( )

2 1 1 x 2 x x 8 2 2 2 1 7 9 .log x x 2 3 .log 2 x 0 2 4

− − − +   − + − − + =    

Hướng dẫn + Khi gặp phương trình mũ hoặc log, trước hết ta biến đổi theo cơ số nhỏ nhất (ở đây là cơ số 3), biến đổi phương trình đã cho, ta có:

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

1 1 x 2 x x 8 2 2 2

1 2x 1 2 4 2 2 x x

1 4 2 2 2 2x 1 x x

1 x x 2x 1 2 4 2 2

1 x x 4

1 7 9 .log x x 2 3 .log 2 x 0 2 4

1 7 3 .log x x 2 .log 2x 1 0 4 3

3 1 7 .log x x 2 .log 2x 1 0 4 3 3

7 3 .log x x 2 3 .log 2x 1 0 4

3 .log

− − − +

− −

−

− −

−+ −

−+

  − + − − + =    

  ⇔ − + − − + =    

  ⇔ − + − − + =    

  ⇔ − + − − + =    

⇔

2x 1 2 2 2 1 7 7 x x 3 .log 2x 1 4 4 4 (1) −       − + + = − +            

+ Xét hàm số t 2

7 f(t) 3 .log t 4   = +    

, ta thấy

2 2 1 1 x x x 0 t 0 4 2

2x 1 0

   − + = − ≥    ⇒≥     − ≥ 

t t 2 7 1 f '(t) 3 .ln3.log t 3 . 0, t 0 4 t.ln 2   ⇒ = + + > ∀≥    

f (t) ⇒ là hàm đồng biến

+ Từ (1) ( ) 2 2 1 1 f x x f 2x 1 x x 2x 1 4 4   ⇒ − + = − ⇒ − + = −     (2)

+ Xét 2 TH: 2x 1 0;2x 1 0 −≥ −< để bỏ dấu GTTĐ ở (2), giải PT (2) ta có ĐS: 1 5 x ; 2 2 =

Bài 2: Giải phương trình 3 2 3 x x 19x 16 3x x 1 + − − = + Hướng dẫn + ĐK: x 1 ≥− + Nhận thấy biểu thức trong căn ở VP là: ( )( ) 3 2 x 1 x 1 x x 1 + = + − + nên rất có thể đây là cơ

sở để cho ta phân tích VT của phương trình, thật vậy:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

3 2 3 2

3 2 2 2

x x 19x 16 x 1 x x 1 18 x 1

x x 19x 16 x 1 x x 1 x x 1 18 x 1

+ − − = + + − + − +

⇔ + − − = + − + + − + − +

+ Phương trình đã cho trở thành:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 x 1 x x 1 x x 1 18 x 1 3 x 1 1 x 1 x x 1   + − + + − + − + = + − + − +   (1)

+ Đặt ẩn phụ

2 a x 1 0

b x x 1 0

= + ≥ 

= − + ≥  thay vào (1) ta được: ( ) 2 2 2 2 2 a b b 18a 3 a 1 ab + − = − (2)

+ Phương trình (2) muốn giải được thì chỉ còn cách phân tích đa thức thành nhân tử, công việc phân tích này không phải dễ dàng, chúng ta sẽ dùng mẹo sau để phân tích:

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC

Trang 2 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

- Trước hết ta biến đổi để đưa (2) về phương trình bậc 2 đối với biến là b:

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 a b b 18a 3 a 1 ab a 1 b 3a 3a b 18a 0 (3) + − = − ⇔ + − − − =

- Phương trình (3) tính được ( ) ( )( ) ( )

2 2 3 2 2 2 2 3a 3a 4 a 1 18a ... 9a a 3 ∆= − + + = = +

⇒ phương trình (3) có 2 nghiệm

( )

( )

3 2

2

2 3 2

2 2

3a 3a 3a a 3 b 3a b 3a 0 a 1

a b b 12a 0 3a 3a 3a a 3 12a b a 1 a 1

 − + + = = − =  +  ⇔  + + = − − +  − = =  + + 

+ Vậy (2) : ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 a b b 18a 3 a 1 ab b 3a a b b 12a 0 + − = − ⇔ − + + =

+ Do 2 a b b 12a 0 a b 0 + + = ⇔ = = (do a,b 0 ≥ ) 2 x 0 x 1 x x 1 x 2

=  ⇒ + = − + ⇔ = 

+ Thử lại vào PT đã cho thấy x = 0; x = 2 không là nghiệm (loại) + Vậy chỉ còn khả năng b 3a = 2 x x 1 3 x 1 x 5 33 ⇒ − + = + ⇔ = ±

Bài 3: Giải phương trình ( )( ) 4 3 2 2 4x 13x 9x 16 2x 3x x 3 x 1 8 − + + − + + + − =

Hướng dẫn

+ ĐK

4 3 2 4x 12x 9x 16 0

x 1

 − + + ≥ ≥ 

+ Ta biến đổi PT ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2x 3x 16 2x 3x x 1 4 x 1 8    ⇔ − + − − − + + − =     

+ Đặt

2 a 2x 3x

b x 1

= − = −  thay vào phương trình ta có:

( )( )

( )

( )

2 2

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

a 16 a b 4 b 8

8 b 4 b a 16 a

8 a 16 a b 4 b 16

a 16 a b 4 b 2

2 b 4 2b a 16 a

2b 16 2b a 16 a (1)

+ − + + =

⇔ + + = + −

+ + ⇔ + + =

+ + ⇔ + + =

⇔ + + = + +

⇔ + + = + +

+ Xét hàm số 2

2 t f(t) t 16 t,t R f '(t) 1 0, t R f(t) t 16 (*) = + + ∈ ⇒ = + > ∀∈ ⇒ + là hàm

đồng biến.

Vậy từ (1) f (2b) f(a) 2b a ⇒ = ⇒ =

( ) ( )

2

2 2 2 2x 3x 0 2 x 1 2x …