Phương pháp giải các bài toán về tiếp tuyến đường cong của đồ thị hàm số lớp 12

SKKN – Nguyễn Nghi (2008 – 2009) - 1 -

A. ĐẶT VẤN ĐỀ .

I) LỜI MỞ ĐẦU.

Mỗi vấn đề của toán học bao giờ cũng có phần cơ bản và phần mở rộng. Trong phần cơ bản cũng có những chổ dễ bị nhầm lẫn dẫn đến sai sót đáng tiếc. Trong phần mở rộng đòi hỏi người giải phải biết vận dụng các kiến thức đã biết để đặt vấn đề và giải quyết vấn đề đó một cách rạch ròi, chính xác. Trong quá trình giải quyết vấn đề đôi khi còn đòi hỏi thủ thuật tính toán cho nhanh, gọn. Nhiệm vụ của người Thầy cần chỉ cho các em những chổ các em dễ bị thiếu sót, dễ bị nhầm lẩn, cần đặt vấn đề liên quan rộng hơn để các em tập giải quyết vấn đề, cần chỉ ra đôi chổ cần có thủ thuật tính toán để các em làm quen Với lý do đó tôi chọn đề tài:

“MỘT SỐ KHÓ KHĂN VÀ SAI SÓT CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG”

II/ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU.

1)Thực trạng:

+ Trong chương trình giải tích 11, kiến thức về tiếp tuyến với đường cong các em đã học dưới dạng áp dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm cấp 1: Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm M(x0; y0) là : y = f’(x0)(x – x0) + y0 Dạng toán vận dụng công thức này thì đơn giản hơn, ít có dạng đòi hỏi tư duy cao hơn + Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về tiếp tuyến với đường cong các em gặp lại nhưng dưới dạng định nghĩa tổng quát hơn: Đường thẳng y = kx + b là tiếp tuyến của đường cong y = f(x) khi và chỉ khi hệ phương trình

( ) (1) '( ) (2) f x kx b f x k       (*)

có nghiệm x = x0 (x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tiếp tuyến có hệ số góc k) Vì khái niệm tiếp tuyến bắt nguồn từ định nghĩa này, cho nên quan niệm “Phương trình (1) có nghiệm kép suy ra đường thẳng y = kx + b là tiếp tuyến của đường cong y = f(x)” cũng đồng nghĩa với quan niệm “ Phương trình (1) có nghiệm kép suy ra hệ phương trình (*) có nghiệm”- Điều này có lẻ chưa chứng minh được, do đó quan niệm thứ nhất không được dùng nữa! Dạng toán vận dụng công thức này thì phong phú hơn, nhiều dạng đòi hỏi tư duy cao hơn Như vậy vấn đề tiếp tuyến các em gặp lại hai lần trong hai năm học, nhưng thực tế các em vẫn còn một số khó khăn và một số sai sót khi giải bài toán liên quan đến tiếp tuyến + Dạng toán liên quan đến tiếp tuyến thường gặp trong các kỳ thi TNTHPT và tuyển sinh ĐH - CĐ 2/ Cách tiến hành:

Từ thực trạng trên, để công việc giảng dạy được tốt hơn, tôi đã đầu tư sưu tầm

và sáng tạo ra một số dạng toán liên quan đến tiếp tuyến để các em làm quen, tìm tòi những chổ các em

dễ thiếu sót để cảnh báo, những thủ thuật tính toán cần thiết nhằm giúp các em vững tin hơn khi gặp

các bài toán về tiếp tuyến

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

I/ MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI

1) Học sinh thường nghỉ sai lầm là: Ứng với hai tiếp điểm khác nhau thì hai tiếp tuyến khác nhau

SKKN – Nguyễn Nghi (2008 – 2009) - 2 -

Ta biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) Tại điểm M(x0; y0) là d1: y = f’(x0)(x – x0) + y0 Tại điểm N(x1; y1) là d2: y = f’(x1)(x – x1) + y1 Vậy nếu x0 ≠ x1 mà f’(x0) = f’(x1) và – x0.f’(x0) + y0 = – x1.f’(x1) + y1 thì d1 trùng d2

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x4 – 2x2 + 3 (C). Tìm trên đồ thị (C) những điểm mà tiếp tuyến với (C) tại điểm đó song song tiếp tuyến với (C) tại điểm A(1; 2)

Học sinh giải: Gọi B(x0; y0) thuộc (C) là điểm cần tìm và B không trùng A nên điều kiện x0 ≠ 1 Tiếp tuyến tại B song song tiếp tuyến tại A nên ta có f’(x0) = f’(1)  4x0 3 – 4x0 = 0  4x0(x0 2 – 1) = 0  x0 = 0, x0 = -1, x0 = 1 (loại) Vậy B là điểm B1(0; 3) hoặc B2(-1, 2) Thực chất tiếp tuyến tại B1(0; 3) có phương trình là: y = 3, tiếp tuyến tại B2(-1; 2) có phương trình là: y = 2, tiếp tuyến tại A(1;2) có phương trình là: y = 2. Do đó chọn B(0;3)

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x4 – 2x2 + 3 (*). Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà qua đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số (*).

Học sinh giải: Gọi M(a; 2) là điểm thuộc đường thẳng y = 2. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M có hệ số góc k là y = k(x – a) + 2. Ta có d là tiếp tuyến của (C)  hệ phương …