Tuyển tập các bài toán có đáp án chi tiết về tính đồng biến và nghịc biến của hàm số

http://onluyentoan.vn

HÀM SỐĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN VÀ MỘT SỐDẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Nguyễn Anh Dũng12

Đồng biến, nghịch biến là các khái hiệm cơ bản nhất của hàm số. Sửdụng khảo sát sựbiến thiên của hàm số, giúp chúng ta giải quyết được một lớp rất rộng các bài toán. Sau đây là một sốvấn đềvà dạng toán thường gặp trong chương trình phổthông.

1 Lý thuyết

Ta có các mệnh đềliên quan đến hàm đồng biến:

• Hàm sốy = y(x) đồng biến trong khoảng (a, b) khi và chỉkhi y′(x) ⩾0, ∀x ∈(a, b), và tập hợp các giá trịx trong khoảng (a, b) thỏa mãn y′(x) = 0 là hữu hạn.

• Nếu hàm sốy = y(x) xác định trên R, y′(x) ⩾0, ∀x ∈R và tập hợp các giá trịx trong mỗi khoảng (a, b) thỏa mãn y′(x) = 0 là hữu hạn thì hàm sốđồng biến trên R.

Đối với hàm sốnghịch biến, ta cũng có các mệnh đềtương tự.

2 Các dạng toán có liên quan

2.1 Tìm điều kiện đểhàm sốđồng biến, nghịch biến trong một khoảng dddd.cho trước

Ví dụ1. Cho hàm sốy = 1

3x3 −1

2(2m + 1)x2 + (3m + 2)x −5m + 2.

(a) Tìm m đểhàm sốnghịch biến trong khoảng (0, 1).

(b) Tìm m đểhàm sốnghịch biến trong một khoảng có độdài lớn hơn 1.

Lời giải. (a) Ta có y′ = x2 −(2m + 1)x + 3m + 2.

Hàm sốnghịch biến trong khoảng (0, 1) khi và chỉkhi

y′ = f(x) = x2 −(2m + 1)x + 3m + 2 ⩽0, ∀x ∈(0, 1).

1Bài viết này được trích từmột bài báo trên tạp chí Toán học và Tuổi trẻ. Onluyentoan.vn xin được phép đăng trên Diễn đàn lại đểgiúp các bạn ôn thi tốt hơn. 2Bài viết được trình bày lại bằng chương trình soạn thảo LaTeX bởi can_hang2007. Đềnghịcác bạn ghi rõ nguồn của http://onluyentoan.vn khi đăng tải trên các trang web khác.

1

http://onluyentoan.vn

2 Nguyễn Anh Dũng

Điều đó xảy ra khi và chỉkhi f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 ⩽0 < 1 ⩽x2, tức là ( x1x2 ⩽0 (1 −x1)(1 −x2) ⩽0 ⇔

( 3m + 2 ⩽0 m + 2 ⩽0 ⇔m ⩽−2.

(b) Tam thức y′ = f(x) có biệt thức ∆= 4m2 −8m −7.

• Nếu ∆⩽0 thì y′ ⩾0, ∀x ∈R, hàm sốđã cho luôn đồng biến, không thỏa mãn.

• Nếu ∆> 0 ⇔m < 2− √

11 2 ∨m > 2+ √

11 2 thì y′ ⩽0 ⇔x1 ⩽x ⩽x2, hàm sốđã cho nghịch biến trong khoảng (x1, x2). Đểhàm sốđã cho nghịch biến trong khoảng có độdài lớn hơn 1 thì ta phải có

|x1 −x2| > 0 ⇔(x1 −x2)2 > 1 ⇔(x1 + x2)2 −4x1x2 > 1. (1)

Theo định lý Viette, ta có x1 + x2 = 2m + 1 và x1x2 = 3m + 2. Thay vào (1), ta được

(2m + 1)2 −4(3m + 2) > 1 ⇔m2 −2m −2 > 0 ⇔m < 1 − √

3 ∨m > 1 + √

3.

Kết hợp với điều kiện để∆> 0, ta có m ∈ −∞, 1 − √

3 ∪ 1 + √

3, +∞ .

Vậy tập hợp các giá trịm thỏa mãn yêu cầu là m ∈ −∞, 1 − √

3 ∪ 1 + √

3, +∞ .

Lưu ý. Nếu a > 0 thì tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ⩽0, ∀x ∈(α, β) khi và chỉkhi ( f(α) ⩽0 f(β) ⩽0

Bài toán tổng quát. Cho hàm sốy = ax3 + bx2 + cx + d (a > 0). Tìm điều kiện đểhàm số nghịch biến trong một khoảng có độdài lớn hơn k.

Cách giải. Tính y′. Điều kiện của bài toán được thỏa mãn khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm x1, x2 phân biệt (∆> 0) sao cho

|x1 −x2| > k ⇔(x1 −x2)2 > k2 ⇔(x1 + x2)2 −4x1x2 > k2.

Sửdụng định lý Viette suy ra kết quả.

Ví dụ2. Tìm m đểhàm số

y = 1

3x3 −(3m −1)x2 + (m + 3)x + 4m −3

đồng biến trong khoảng (1, +∞).

Lời giải. Ta có y′ = x2 −2(3m −1)x + m + 3.

Hàm sốđồng biến trong khoảng (1, +∞) khi và chỉkhi

y′ = f(x) = x2 −2(3m −1)x + m + 3 ⩾0, ∀x ∈(1, +∞).

Điều kiện đềra được thỏa mãn trong hai trường hợp sau: