Hướng dẫn giải các bài toán hay gặp về tính đồng biến và nghịch biến của đồ thị hàm số

Ôn thi tốt nghiệp và đại học Trang số– 1

LỰA CHỌN PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HÀM SỐĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN TRÊN

MỘT KHOẢNG K

Trước tiên ta cần có các kiến thức như sau

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 +bx+c, (a ̸= 0). Khi

đó:

‚ Với a > 0 thì f(x) ⩽0, ∀x ∈(α, β) (hoặc

x ∈[α, β]) ⇔

  

 

f(α) ⩽0

f(β) ⩽0 .

ƒ Với a < 0 thì f(x) ⩾0, ∀x ∈(α, β) (hoặc

x ∈[α, β]) ⇔

  

 

f(α) ⩾0

f(β) ⩾0 .

„ Với S

2 = −b

2a /∈(α, β) hoặc (S

2 = −b

2a /∈[α, β])

thì f(x) ⩽0, ∀x ∈(α, β)( hoặc x ∈[α, β]) ⇔   

 

f(α) ⩽0

f(β) ⩽0

Với S

2 = −b

2a /∈(α, β) hoặc (S

2 = −b

2a /∈[α, β])

thì f(x) ⩾0, ∀x ∈(α, β)( hoặc x ∈[α, β]) ⇔   

 

f(α) ⩾0

f(β) ⩾0

† m ⩾f(x), ∀x ∈[a, b] ⇔m ⩾Max x∈[a,b]f(x)

‡ m ⩽f(x), ∀x ∈[a, b] ⇔m ⩽Min x∈[a,b]f(x)

BÀI TOÁN SỐ1. Tìm m đểy = −1

3x3 + (m −

1)x2 + (m −3)x −4 đồng biến trên khoảng (0, 3).

Lời giải.

y đồng biến trên (0, 3) ⇔y′ = −x2 + 2(m −1)x +

(m −3) ⩾0, ∀x ∈(0, 3) (*)

Tới đây ta xửlý theo nhiều cách

Cách 1. (theo nhiều tài liệu tham khảo hiện nay

và gọn nhất)

(∗) ⇔

  

 

y′(0) ⩾0

y′(3) ⩾0 ⇔

  

 

m ⩾3

m ⩾18

7

⇔m ⩾3

Cách 2. (∗) ⇔m(2x + 1) ⩾x2 + 2x + 3, ∀x ∈

(0, 3) ⇔m ⩾x2 + 2x + 3

2x + 1 = g(x), ∀x ∈[0, 3] ⇔

m ⩾Max x∈[0,3]g(x)

Ta có g′(x) = 2x2 + 2x −4

(2x + 1)2 , g′(x) = 0 ⇔x =

1 ∨x = −2 /∈[0, 3], g(0) = 3, g(1) = 2, g(3) = 18

7 ⇒Max x∈[0,3]g(x) = 3.

Vậy m ⩾3

Cách 3. (dài nhất và cực nhất, nhưng không

phải không có ích)

Ta xét tam thức f(x) = −x2+2(m−1)x+(m−3)

có a = −1 < 0 nên với ∆⩽0 thì f(x) ⩽0, ∀x ∈

R. Ta chỉxét bài toán với ∆> 0 ⇔m2 −m + 4 >

0 ⇔m ∈R

Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt

x1, x2 (x1 < x2) và f(x) > 0, ∀x ∈(x1, x2)

(dựa vào bảng xét dấu của f(x)). Yêu cầu bài

toán là f(x) ⩾0, ∀x ∈(0, 3) ⇔f(x) có

hai ngiệm x1, x2 thỏa x1 ⩽0 < 3 ⩽x2 ⇔   

 

x1 ⩽0 < x2

x1 < 3 ⩽x2

⇔

  

 

x1x2 ⩽0

(x1 −3)(x2 −3) ⩽0 ⇔

  

 

x1x2 ⩽0

x1x2 −3(x1 + x2) + 9 ⩽0 ⇔m ⩾3 Sau

đây là các bài tương tựđểcác bạn luyện tập.

• Tìm m đểy = x3 −3mx2 + 3(2m −1)x + 1

nghịch biến trên (1, 4). Đáp số: m ⩾5

2

.

• Tìm m đểy = x3 +3x2 +(m+1)x+4 nghịch

biến trên (−1, 1). Đáp số: m ⩽2 .

BÀI TOÁN SỐ2.

Tìm m đểy = x2 −(3m + 1)x + 5m −1

x −m đồng

biến trong khoảng (0, 1).

Lời giải. Điều kiện xác định là x ̸= m. Do

x ∈(0, 1) ⇒m ⩽0 ∨m ⩾1 (∗).

c⃝huynhkyl@gmail.com For math.vn

Ôn thi tốt nghiệp và đại học Trang số– 2

y đồng biến trên (0, 1) ⇔ y′ = x2 −2mx + 3m2 −4m + 1

(x −m)2 = g(x) (x −m)2 ⩾0, ∀x ∈

(0, 1) ⇔

  

 

m ⩽0 ∨m ⩾1

g(x) ⩾0, ∀x ∈(0, 1) (∗∗)

Ta lại có nhiều cách đểxửlý (**), tuy nhiên ta

đểý là m không đồng bậc nên không giải như

cách 2 ởbài tập 1 được. Còn nếu giải như cách 3

ởbài tập 1 thì các bạn thửxem (vẫn được đấy).

Cách 1. Do g(x) có S

2 = −b

2a = m /∈(0, 1) nên

ta có (*) ⇔

  

 

g(0) ⩾0

g(1) ⩾0 ⇔m ⩽1

3 ∨m ⩾3 + √

3 3

Kết hợp điều kiện (*) ta có

m ⩽0 ∨m ⩾3 + √

3 3

Cách 2. Với m ⩽0 ∨m ⩾1. Xét (**). Ta có

g′(x) = 2x −2m. Khi đó

• Nếu m ⩽0 thì g′(x) = 2(x −m) > 0, ∀x ∈

(0, 1) ⇒g′(x) đồng biến trên (0, 1). Suy

ra ∀x ∈(0, 1) thì g(x) > g(0) ⇔g(x) >

3m2 −4m + 1

Khi đó (**) ⇔3m2 −4m + 1 ⩾0 ⇔m ⩽ 1 3 ∨m ⩾1 ⇔m ⩽0

• Nếu m ⩾0 thì g′(x) = 2(x −m) < 0, ∀x ∈

(0, 1) ⇒g′(x) nghịch biến trên (0, 1). Suy

ra ∀x ∈(0, 1) thì g(x) > g(1) ⇔g(x) >

3m2 −6m + 2

Khi đó (**) ⇔3m2 −6m + 2 ⩾0 ⇔m ⩽ 3 − √

3 3 ∨m ⩾3 + √

3 3 ⇔m ⩾3 + √

3 3

Vậy m ⩽0 ∨m ⩾3 + √

3 3

Đôi khi nếu y′ có nghiệm "đẹp", ta nên tính luôn

ra nghiệm. Sau đây là bài toán kiểu đó, tất nhiên

bài toán này có thểgiải bằng các cách đã nêu.

BÀI TOÁN SỐ3.

Tìm m đểy = mx2 + x + m

mx + 1 đồng biến trên

khoảng (0, +∞).

Lời giải.

• Nếu m = 0 thì y = x đồng biến trên cảR

nên m = 0 nhận.

• Với m ̸= 0 ta có điều kiện xác định là

x ̸= −1

m. Do x ∈(0, +∞) nên m > 0.

Ta có y′ = m2x2 + 2mx + 1 −m2

(mx + 1)2 .

Khi đó y′ = 0 ⇔



 x = −m + m2

m2

x = −m −m2

m2

Ycbt là y′ có hai ngiệm x1, x2 thỏa x1 ⩽

x2 ⩽0 ⇔−m + m2

m2 ⩽0 ⇔0 < m ⩽1.

Vậy 0 ⩽m ⩽1

Sau đây là các bài tập đểcác bạn luyện tập

a. Tìm m để

y = x2 −(m + 1)x + 4m2 −4m −2

x …