Tổng hợp các bài toán hay gặp về hệ phương trình và bất phương trình có chứa mũ và logarit lớp 12

Chuyên đề 6: HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT TÓM TẮT GIÁO KHOA I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1. Các định nghĩa:

• (n n

n thừa số a a.a...a = Z ,n 1,a R) + ∈ ≥ ∈

• 1 a a = a ∀

• 0 a 1 = a 0 ∀≠

• n n 1 a a

− = { } (n Z ,n 1,a R / 0 ) + ∈ ≥ ∈

•

m n m n a a = ( ) a 0;m,n N > ∈

•

m n m n m n

1 1 a a a

−

= =

2. Các tính chất :

22

• m n m n a .a a + =

• m m n n a a a

− =

• m n n m m.n (a ) (a ) a = =

• n n n (a.b) a .b =

• n n n a a ( ) b b =

3. Hàm số mũ: Dạng : ( a > 0 , a x y a = ≠1 ) • Tập xác định : D R =

• Tập giá trị : ( ) T R+ = x a 0 x > ∀∈R

a =

a =

• Tính đơn điệu:

* a > 1 : y đồng biến trên R x

* 0 < a < 1 : y nghịch biến trên x R • Đồ thị hàm số mũ : •

a>1

y=ax y

x 1

0<a<1

y=ax y

x 1

Minh họa:

f(x)=2^x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y f(x)=(1/2)^x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

y=2x y=

x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1

1 x

y y

x 1

O O

II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1. Định nghĩa: Với a > 0 , a ≠1 và N > 0

dn M a log N M a N = ⇔ =

23

Điều kiện có nghĩa: có nghĩa khi N a log

⎪⎩

⎪⎨

⎧

> ≠ >

0 1 0

N a a

2. Các tính chất :

• a log 1 0 = • a log a 1 =

• M a log a M =

• log N a a N = • a 1 2 a 1 a 2 log (N .N ) log N log N = +

• 1 a a 1 a 2 2

N log ( ) log N log N N = −

24

a • a log N .log N α = α Đặc biệt : 2 a a log N 2.log N =

3. Công thức đổi cơ số :

• a a b log N log b.log N =

• a b a

log N log N log b =

* Hệ quả:

• a b

1 log b log a = và k a 1 log N log N k = a

4. Hàm số logarít: Dạng ( a > 0 , a a y log x = ≠ 1 )

• Tập xác định : + = D R • Tập giá trị = T R • Tính đơn điệu:

* a > 1 : y l đồng biến trên a og x = + R

* 0 < a < 1 : y l nghịch biến trên a og x = + R

• Đồ thị của hàm số lôgarít:

Minh họa:

0<a<1

y=logax

1 x

y

O

a>1

y=logax

1

y

x O

f(x)=ln(x)/ln(1/2)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

y=log2x

x

y

x

y

f(x)=ln(x)/ln(2)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

x y

2 1 log =

1 O 1 O

5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 1. Định lý 1: Với 0 < a 1 thì : a ≠ M = aN ⇔ M = N 2. Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN ⇔ M > N (nghịch biến) 3. Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN ⇔ M < N (đồng biến ) 4. Định lý 4: Với 0 < a 1 và M > 0;N > 0 thì : log ≠ a M = loga N ⇔ M = N 5. Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N ⇔ M >N (nghịch biến) 6. Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến)

25

III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM = aN (đồng cơ số)

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) x 1 2x 1 9 27 + + =

2)

2 x 3x 2 2 4 − + = 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 3 4 2) 2x 8 x 5 .3 27 0 + + − + = x x x 6.9 13.6 6.4 0 − + = 3) x x ( 2 3 ) ( 2 3 ) 4 − + + =

4) 2 − − 5) 6) 3 2

2 2 2 = − + x x x x 0 27 .2 18 12 .4 8.3 = − − + x x x x 0 7.7 14 .9 2.2 2 2 = + − x x x

Bài tập rèn luyện: 1) 4 ) 3 2 ( ) 3 2 = − + x x ( + ( 1 ± x ) 2) 8 + (x=0) x x x 27 .2 18 =

+ = + x x x

+ = + x x x 3) 125 (x=0) 1 3 2 50 4) 25 (x=0) 1 2 2 10

5) x x 8 ) ( 3 8 ) 6 + + − = ( 3 ( ) 2 ± = x

6) (x=0) x x x 8.2 12 27 = + IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a log M log N a = (đồng cơ số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 2 2 1 2

1 log log (x x 1) x = − −

2) [ ] 2 log x(x 1) 1 − =

3) 2 2 log x log (x 1) 1 + − =

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :