Giải Bài 9.6 trang 51 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích: Vì $AB$ là đường kính của $(O)$ và $C$ thuộc đường tròn nên ta dùng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Bước 1. Vì $C$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ nên $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn cung $AB$ là nửa đường tròn). Do đó:
$$\widehat{ACB} = 90^\circ.$$
Suy ra $BC \perp AC$.

Bước 2. Theo giả thiết, $E$ là điểm đối xứng của $A$ qua $C$, nên $C$ là trung điểm của đoạn $AE$. Ba điểm $A$, $C$, $E$ thẳng hàng, do đó đường thẳng $AE$ chính là đường thẳng $AC$.

Từ Bước 1, $BC \perp AC$, mà $AC$ nằm trên đường thẳng $AE$ nên $BC \perp AE$ tại $C$.

Bước 3. Trong tam giác $ABE$, đoạn $BC$ vừa đi qua trung điểm $C$ của cạnh $AE$ (nên $BC$ là đường trung tuyến), vừa vuông góc với $AE$ (nên $BC$ là đường cao ứng với cạnh $AE$).

Tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì là tam giác cân. Vậy tam giác $ABE$ cân tại $B$, tức là:
$$BE = BA. \quad (\text{đpcm})$$

Kiểm tra: Có thể thấy rõ hơn khi để ý $BC$ là đường trung trực của $AE$ (vì $BC$ vuông góc với $AE$ tại trung điểm $C$ của nó), nên mọi điểm trên $BC$, trong đó có $B$, đều cách đều hai đầu mút $A$ và $E$, suy ra $BA = BE$. Kết quả phù hợp.

Đáp số