Giải Bài 9.7 trang 51 SBT Toán 9

Lời giải

Trước hết ta khai thác giả thiết đường tròn có đường kính $AB$.

- Vì $X$ nằm trên đường tròn đường kính $AB$ nên $\widehat{AXB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó $\widehat{AXB}=90^\circ$. Suy ra $BX \perp AC$ tại $X$.
- Tương tự, $Y$ nằm trên đường tròn đường kính $AB$ nên $\widehat{AYB}=90^\circ$, suy ra $AY \perp BC$ tại $Y$.

a) Chứng minh tam giác $CXY$ cân tại $Y$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$. Ta có $AY \perp BC$, tức $AY$ là đường cao xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác cân $ABC$. Trong tam giác cân, đường cao hạ từ đỉnh cân đồng thời là đường trung tuyến, nên $Y$ là trung điểm của cạnh $BC$.

Mặt khác, do $BX \perp AC$ nên tam giác $BXC$ vuông tại $X$, với $BC$ là cạnh huyền.

Xét tam giác vuông $BXC$ có $XY$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ (vì $Y$ là trung điểm $BC$). Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông:
$$XY = \dfrac{BC}{2} = YC.$$

Vậy $YX = YC$, tức tam giác $CXY$ cân tại $Y$ (đpcm).

b) Chứng minh $CK \perp AB$.

Trong tam giác $ABC$ ta có:
- $AY \perp BC$ nên $AY$ là một đường cao của tam giác $ABC$;
- $BX \perp AC$ nên $BX$ là một đường cao của tam giác $ABC$.

Hai đường cao $AY$ và $BX$ cắt nhau tại $K$, do đó $K$ chính là trực tâm của tam giác $ABC$.

Vì trực tâm là giao điểm của ba đường cao nên đường thẳng $CK$ (đi qua đỉnh $C$ và trực tâm $K$) chính là đường cao thứ ba của tam giác, hạ từ đỉnh $C$ xuống cạnh $AB$.

Vậy $CK \perp AB$ (đpcm).

Đáp số