Giải Bài 9.46 trang 61 SBT Toán 9

Lời giải

Nhận xét ban đầu (tính chất tiếp tuyến).

Vì đường tròn $(I)$ tiếp xúc với các cạnh tại $D$, $E$, $F$ nên bán kính tại tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến:
$$ID \perp BC,\qquad IE \perp CA,\qquad IF \perp AB.$$
Do đó:
$$\widehat{IDB}=\widehat{IDC}=90^\circ,\quad \widehat{IEA}=\widehat{IEC}=90^\circ,\quad \widehat{IFA}=\widehat{IFB}=90^\circ.$$

Ta dùng dấu hiệu: *tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ thì nội tiếp* (tương đương: tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới góc $90^\circ$ thì nội tiếp đường tròn đường kính là cạnh đó).

a) Tứ giác $IEAF$ nội tiếp.

Xét tứ giác $IEAF$ (các đỉnh theo thứ tự $I$, $E$, $A$, $F$). Hai góc đối của nó là góc tại $E$ và góc tại $F$:
$$\widehat{IEA}=90^\circ\ (\text{vì } IE\perp CA),\qquad \widehat{IFA}=90^\circ\ (\text{vì } IF\perp AB).$$
Suy ra
$$\widehat{IEA}+\widehat{IFA}=90^\circ+90^\circ=180^\circ.$$
Tứ giác $IEAF$ có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ nên nội tiếp (đpcm).
(Thực chất $E$ và $F$ cùng nhìn đoạn $IA$ dưới góc vuông nên $I,E,A,F$ nằm trên đường tròn đường kính $IA$.)

b) Tứ giác $IFBD$ nội tiếp.

Xét tứ giác $IFBD$ (các đỉnh theo thứ tự $I$, $F$, $B$, $D$). Hai góc đối là góc tại $F$ và góc tại $D$:
$$\widehat{IFB}=90^\circ\ (\text{vì } IF\perp AB),\qquad \widehat{IDB}=90^\circ\ (\text{vì } ID\perp BC).$$
Suy ra
$$\widehat{IFB}+\widehat{IDB}=90^\circ+90^\circ=180^\circ.$$
Vậy tứ giác $IFBD$ nội tiếp (đpcm).
($F$ và $D$ cùng nhìn đoạn $IB$ dưới góc vuông nên $I,F,B,D$ nằm trên đường tròn đường kính $IB$.)

c) Tứ giác $IDCE$ nội tiếp.

Xét tứ giác $IDCE$ (các đỉnh theo thứ tự $I$, $D$, $C$, $E$). Hai góc đối là góc tại $D$ và góc tại $E$:
$$\widehat{IDC}=90^\circ\ (\text{vì } ID\perp BC),\qquad \widehat{IEC}=90^\circ\ (\text{vì } IE\perp CA).$$
Suy ra
$$\widehat{IDC}+\widehat{IEC}=90^\circ+90^\circ=180^\circ.$$
Vậy tứ giác $IDCE$ nội tiếp (đpcm).
($D$ và $E$ cùng nhìn đoạn $IC$ dưới góc vuông nên $I,D,C,E$ nằm trên đường tròn đường kính $IC$.)

Kết luận. Cả ba tứ giác $IEAF$, $IFBD$, $IDCE$ đều là tứ giác nội tiếp (lần lượt nội tiếp các đường tròn đường kính $IA$, $IB$, $IC$).

Đáp số