Giải Bài 9.51 trang 62 SBT Toán 9

Lời giải

Vì $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH \perp BC$, suy ra $\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^\circ$.

Xét tam giác vuông $ABH$ (vuông tại $H$):

Ta có $HM \perp AB$ (vì $M$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB$), nên $HM$ là đường cao ứng với cạnh huyền $AB$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (bình phương một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền), ta được:
$$AH^2 = AM \cdot AB. \quad (1)$$

Xét tam giác vuông $ACH$ (vuông tại $H$):

Ta có $HN \perp AC$ (vì $N$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AC$), nên $HN$ là đường cao ứng với cạnh huyền $AC$.

Tương tự, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$$AH^2 = AN \cdot AC. \quad (2)$$

Kết luận: Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
$$AM \cdot AB = AN \cdot AC \ (= AH^2).$$

Vậy $AM \cdot AB = AN \cdot AC$ (đpcm).

Đáp số