Giải Bài 9.52 trang 62 SBT Toán 9

Lời giải

Vì $AB < AC$ nên đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $K$ nằm trên tia đối của tia $BC$ (ngoài đoạn $BC$, về phía $B$).

a) Chứng minh $KB \cdot KC = KE \cdot KF$.

Vì $BE$, $CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$ nên $\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^\circ$.

Hai điểm $E$, $F$ cùng nhìn đoạn $BC$ dưới một góc vuông nên $E$, $F$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$, tức tứ giác $BFEC$ nội tiếp.

Suy ra $\widehat{BFE} + \widehat{BCE} = 180^\circ$. Mặt khác $\widehat{KFB} + \widehat{BFE} = 180^\circ$ (hai góc kề bù, vì $K$ nằm trên đường thẳng $EF$), do đó $\widehat{KFB} = \widehat{BCE} = \widehat{KCE}$.

Xét $\triangle KFB$ và $\triangle KCE$ có: $\widehat{K}$ chung; $\widehat{KFB} = \widehat{KCE}$ (chứng minh trên).

Suy ra $\triangle KFB \backsim \triangle KCE$ (g.g), do đó $\dfrac{KF}{KC} = \dfrac{KB}{KE}$.

Vậy $KB \cdot KC = KE \cdot KF$ (điều phải chứng minh).

b) Chứng minh $\dfrac{KB}{KC} = \dfrac{DB}{DC}$.

Vì tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ nên $\widehat{FEB} = \widehat{FCB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $FB$), tức $\widehat{KEB} = \widehat{KCF}$.

Xét $\triangle KEB$ và $\triangle KCF$ có: $\widehat{K}$ chung; $\widehat{KEB} = \widehat{KCF}$ (chứng minh trên).

Suy ra $\triangle KEB \backsim \triangle KCF$ (g.g), do đó $\dfrac{KE}{KC} = \dfrac{EB}{CF}$.

Từ câu a, $\triangle KFB \backsim \triangle KCE$ nên $\dfrac{KB}{KE} = \dfrac{FB}{CE}$.

Nhân hai tỉ số trên, ta được: $\dfrac{KB}{KC} = \dfrac{KB}{KE} \cdot \dfrac{KE}{KC} = \dfrac{FB}{CE} \cdot \dfrac{EB}{CF}$.

Ta tính từng tỉ số nhờ tỉ số lượng giác trong tam giác vuông:

Tam giác $BFC$ vuông tại $F$ có $BF = BC \cdot \cos\widehat{ABC}$; tam giác $BEC$ vuông tại $E$ có $CE = BC \cdot \cos\widehat{ACB}$. Suy ra $\dfrac{FB}{CE} = \dfrac{\cos\widehat{ABC}}{\cos\widehat{ACB}}$.

Tam giác $ABE$ vuông tại $E$ có $BE = AB \cdot \sin\widehat{BAC}$; tam giác $ACF$ vuông tại $F$ có $CF = AC \cdot \sin\widehat{BAC}$. Suy ra $\dfrac{EB}{CF} = \dfrac{AB}{AC}$.

Do đó $\dfrac{KB}{KC} = \dfrac{AB \cdot \cos\widehat{ABC}}{AC \cdot \cos\widehat{ACB}}$.

Mặt khác, vì $AD$ là đường cao nên tam giác $ABD$ vuông tại $D$, suy ra $DB = AB \cdot \cos\widehat{ABC}$; tam giác $ACD$ vuông tại $D$, suy ra $DC = AC \cdot \cos\widehat{ACB}$.

Do đó $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB \cdot \cos\widehat{ABC}}{AC \cdot \cos\widehat{ACB}}$.

Vậy $\dfrac{KB}{KC} = \dfrac{DB}{DC}$ (điều phải chứng minh).