Giải Bài 9.53 trang 62 SBT Toán 9

Lời giải

Gọi $(O; R)$ là đường tròn ngoại tiếp cả tam giác đều và lục giác đều.

Bước 1. Tính bán kính $R$ của đường tròn.

Tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$ có cạnh $AB = 3$ cm. Vì ba đỉnh $A$, $B$, $C$ chia đường tròn thành ba cung bằng nhau nên góc ở tâm chắn mỗi cạnh là
$$\widehat{AOB} = \dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ.$$

Tam giác $OAB$ cân tại $O$ (vì $OA = OB = R$). Kẻ $OH \perp AB$ tại $H$ thì $H$ là trung điểm của $AB$ và $\widehat{AOH} = 60^\circ$.

Trong tam giác vuông $OHA$:
$$\sin 60^\circ = \dfrac{AH}{OA} = \dfrac{3 : 2}{R},$$
suy ra
$$R = \dfrac{3}{2} : \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ (cm)}.$$

Bước 2. Tính cạnh của lục giác đều.

Lục giác đều $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ nội tiếp $(O; R)$ có góc ở tâm chắn mỗi cạnh là
$$\widehat{A_1OA_2} = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ.$$

Tam giác $OA_1A_2$ cân tại $O$ ($OA_1 = OA_2 = R$) và có $\widehat{A_1OA_2} = 60^\circ$ nên là tam giác đều.

Do đó cạnh của lục giác đều bằng bán kính đường tròn:
$$a = R = \sqrt{3} \text{ (cm)}.$$

Bước 3. Tính chu vi của lục giác đều.

$$C = 6a = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39 \text{ (cm)}.$$

Bước 4. Tính diện tích của lục giác đều.

Lục giác đều được chia thành $6$ tam giác đều bằng nhau $OA_1A_2$, $OA_2A_3$, …, mỗi tam giác có cạnh $a = \sqrt{3}$ cm, chiều cao $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{3}{2}$ (cm).

Diện tích một tam giác nhỏ là
$$S_1 = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Vậy diện tích của lục giác đều là
$$S = 6S_1 = 6 \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{4} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2} \approx 7{,}79 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Đáp số