Giải Bài 5.13 trang 62 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích chung. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ (bờ ao), cân tại $B$ với $AB = BC = 10$ m và $\widehat{ABC} = 120^\circ$. Hai góc ở đáy bằng nhau:
$$\widehat{BAC} = \widehat{BCA} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ.$$

Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Vì tam giác cân tại $B$ nên $BM \perp AC$. Trong tam giác vuông $ABM$ có $\widehat{ABM} = 60^\circ$:
$$AM = AB\cdot\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3 \ (\text{m}) \ \Rightarrow\ AC = 2AM = 10\sqrt3 \ (\text{m}).$$

a) Bán kính của ao.

Góc nội tiếp $\widehat{ABC} = 120^\circ$ chắn cung $AC$ (cung không chứa $B$), nên
$$\text{sđ } \overset{\frown}{AC}\,(\text{không chứa } B) = 2\cdot 120^\circ = 240^\circ \ \Rightarrow\ \text{sđ } \overset{\frown}{AC}\,(\text{chứa } B) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ.$$
Do đó góc ở tâm $\widehat{AOC} = 120^\circ$.

Tam giác $OAC$ cân tại $O$ ($OA = OC = R$), hạ $OM \perp AC$ tại trung điểm $M$ thì $OM$ là phân giác, nên $\widehat{AOM} = 60^\circ$. Trong tam giác vuông $OAM$:
$$AM = OA\cdot \sin\widehat{AOM} \ \Rightarrow\ 5\sqrt3 = R\cdot\sin 60^\circ = R\cdot\frac{\sqrt3}{2} \ \Rightarrow\ R = 10 \ (\text{m}).$$

Vậy bán kính của ao cá bằng $10$ m.

b) Độ dài quãng đường men theo bờ ao.

Góc nội tiếp $\widehat{BCA} = 30^\circ$ chắn cung $AB$, nên $\text{sđ } \overset{\frown}{AB} = 2\cdot 30^\circ = 60^\circ$. Tương tự, $\widehat{BAC} = 30^\circ$ chắn cung $BC$ nên $\text{sđ } \overset{\frown}{BC} = 60^\circ$.

Áp dụng công thức độ dài cung $\ell = \dfrac{\pi R n}{180}$ với $R = 10$ m, $n = 60^\circ$:
$$\ell_{AB} = \frac{\pi\cdot 10\cdot 60}{180} = \frac{10\pi}{3} \approx 10{,}5 \ (\text{m}).$$
$$\ell_{BC} = \frac{\pi\cdot 10\cdot 60}{180} = \frac{10\pi}{3} \approx 10{,}5 \ (\text{m}).$$

Vậy quãng đường men theo bờ ao từ chòi $A$ đến chòi $B$ khoảng $10{,}5$ m, và từ chòi $B$ đến chòi $C$ cũng khoảng $10{,}5$ m.

Đáp số