Giải Bài 5.17 trang 65 SBT Toán 9

Lời giải

## a) Trường hợp $P \in (O)$

Gọi $R$ là bán kính của $(O)$, khi đó $OP = R$ vì $P \in (O)$.

Đường thẳng $a$ đi qua $P$ và vuông góc với $OP$ tại $P$, nên $P$ chính là chân đường vuông góc hạ từ tâm $O$ xuống đường thẳng $a$. Do đó khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $a$ bằng:
$$d(O, a) = OP = R.$$

Lấy một điểm $M$ bất kì trên $a$ khác $P$. Tam giác $OPM$ vuông tại $P$ nên cạnh huyền $OM$ lớn hơn cạnh góc vuông $OP$:
$$OM > OP = R.$$

Vậy mọi điểm $M$ của $a$ (khác $P$) đều nằm ngoài $(O)$, tức là $a$ chỉ có một điểm chung duy nhất với $(O)$ là $P$.

Khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$ bằng bán kính $R$, nên $a$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại tiếp điểm $P$ (đpcm).

##

b) Trường hợp $P$ nằm ngoài $(O)$

Gọi $I$ là trung điểm của $OP$; đường tròn đường kính $OP$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $\dfrac{OP}{2}$. Theo giả thiết, đường tròn này cắt $(O)$ tại $A$ và $B$.

Vì $A$ nằm trên đường tròn đường kính $OP$ nên $\widehat{OAP}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính $OP$). Do đó:
$$\widehat{OAP} = 90^\circ \quad\Rightarrow\quad PA \perp OA \text{ tại } A.$$

Mà $A \in (O)$ nên $OA$ là bán kính của $(O)$. Đường thẳng $PA$ đi qua điểm $A$ của $(O)$ và vuông góc với bán kính $OA$ tại $A$, nên theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, $PA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$.

Tương tự, $B$ nằm trên đường tròn đường kính $OP$ nên:
$$\widehat{OBP} = 90^\circ \quad\Rightarrow\quad PB \perp OB \text{ tại } B,$$
với $OB$ là bán kính của $(O)$. Vậy $PB$ cũng là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$.

Tóm lại, $PA$ và $PB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ (đpcm).

Đáp số