Giải Luyện tập 4 trang 70 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại Ví dụ 4. Một hộp kín đựng $7$ chiếc bút bi xanh và $5$ chiếc bút bi đen có cùng kích thước và khối lượng (tổng cộng $12$ chiếc). Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút từ hộp, không trả lại; sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một trong $11$ chiếc bút còn lại.

Xét các biến cố:
- $A$: "Sơn lấy được bút bi xanh";
- $B$: "Tùng lấy được bút bi đen".

Ban đầu hộp có $12$ chiếc bút ($7$ xanh, $5$ đen) nên
$$P(A)=\dfrac{7}{12},\qquad P(\overline{A})=\dfrac{5}{12}.$$

a) Xác suất để Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen.

Biến cố cần tính là $AB$. Theo công thức nhân xác suất:
$$P(AB)=P(A)\cdot P(B\mid A).$$

Khi Sơn đã lấy được một bút xanh, trong hộp còn lại $11$ chiếc gồm $6$ xanh và $5$ đen, nên xác suất để Tùng lấy được bút đen là
$$P(B\mid A)=\dfrac{5}{11}.$$

Vậy
$$P(AB)=\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{5}{11}=\dfrac{35}{132}\approx 0{,}265.$$

b) Xác suất để hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.

Gọi $C$: "Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu". Biến cố $C$ xảy ra khi cả hai cùng xanh hoặc cả hai cùng đen. Hai trường hợp này xung khắc nên
$$P(C)=P(\text{cả hai xanh})+P(\text{cả hai đen}).$$

*Cả hai cùng xanh:* Sơn lấy xanh rồi Tùng lấy xanh. Sau khi Sơn lấy một bút xanh, còn $6$ xanh trong $11$ chiếc:
$$P(\text{cả hai xanh})=\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{6}{11}=\dfrac{42}{132}.$$

*Cả hai cùng đen:* Sơn lấy đen rồi Tùng lấy đen. Sau khi Sơn lấy một bút đen, còn $4$ đen trong $11$ chiếc:
$$P(\text{cả hai đen})=\dfrac{5}{12}\cdot\dfrac{4}{11}=\dfrac{20}{132}.$$

Vậy
$$P(C)=\dfrac{42}{132}+\dfrac{20}{132}=\dfrac{62}{132}=\dfrac{31}{66}\approx 0{,}470.$$

Đáp số