Giải Vận dụng trang 70 SGK Toán 12

Lời giải

a)

Chứng minh $P(E_1)=P(E_2)=P(E_3)=\dfrac{1}{3}$

Trò chơi có 3 ô cửa, sau đúng một ô cửa có ô tô, hai ô cửa còn lại có con lừa. Ô tô được đặt ngẫu nhiên sau một trong ba ô cửa nên ba biến cố $E_1$, $E_2$, $E_3$ là đồng khả năng, và chắc chắn có đúng một trong ba biến cố này xảy ra. Do đó:

$$P(E_1)=P(E_2)=P(E_3)=\dfrac{1}{3}.$$

Chứng minh $P(H|E_1)=\dfrac{1}{2}$

$P(H|E_1)$ là xác suất người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa, với điều kiện sau ô cửa số 1 có ô tô.

Nếu $E_1$ xảy ra thì ô tô ở sau ô cửa số 1 (chính là cửa người chơi đã chọn), nên sau ô cửa số 2 và ô cửa số 3 đều có con lừa. Người quản trò không mở ô cửa số 1 (cửa người chơi chọn), nên chọn ngẫu nhiên một trong hai ô cửa số 2 hoặc số 3 để mở, cả hai đều có con lừa. Hai khả năng này đồng khả năng, nên xác suất người quản trò mở đúng ô cửa số 3 là:

$$P(H|E_1)=\dfrac{1}{2}.$$

Chứng minh $P(H|E_2)=1$

$P(H|E_2)$ là xác suất người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa, với điều kiện sau ô cửa số 2 có ô tô.

Nếu $E_2$ xảy ra thì ô tô ở sau ô cửa số 2, nên sau ô cửa số 1 và ô cửa số 3 đều có con lừa. Người quản trò không mở ô cửa số 1 (cửa người chơi chọn) và cũng không mở ô cửa số 2 (vì sau đó có ô tô). Vậy người quản trò buộc phải mở ô cửa số 3, và chắc chắn thấy con lừa. Do đó:

$$P(H|E_2)=1.$$

Vậy các đẳng thức đã được chứng minh (đpcm).

Đáp số