Giải Hoạt động 4 trang 57 SGK Toán 9

Lời giải

Biểu thức thứ nhất: $\dfrac{-2}{\sqrt{3}+1}$

a) Mẫu là $\sqrt{3}+1$ nên biểu thức liên hợp của mẫu là $\sqrt{3}-1$.

b) Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}-1$:
$$\dfrac{-2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{-2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}.$$

c) Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho mẫu:
$$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2.$$
Do đó:
$$\dfrac{-2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{-2(\sqrt{3}-1)}{2}=-(\sqrt{3}-1)=1-\sqrt{3}.$$

Biểu thức thứ hai: $\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

a) Mẫu là $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ nên biểu thức liên hợp của mẫu là $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.

b) Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}+\sqrt{2}$:
$$\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}.$$

c) Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho mẫu:
$$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1.$$
Do đó:
$$\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{1}=\sqrt{3}+\sqrt{2}.$$

Kiểm tra lại:
- $(1-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}+1-3-\sqrt{3}=-2$ ✓
- $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1$ ✓

Đáp số