Ứng dụng định lý Viète trong phương trình bậc ba - Nguyễn Thanh Hải

1

Số 528 (6-2021)

ĐỊNH LÝ VIÈTE. Cho phương trình

3 2 0 + + + = ax bx cx d ( ) 0  a , có các nghiệm là

1 2 3 , , x x x ( kể cả nghiệm bội). Khi đó:

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

 + + = −   + + =    = − 

b x x x a

c x x x x x x a d x x x a

Thí dụ 1. Cho phương trình

3 2 6 5 5 0 − + − = x mx m với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Lời giải. Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt là 1 2 3 , , x x x theo thứ tự lập

thành cấp số cộng, suy ra: 1 3 2 2 (1). + = x x x

Theo định lý Viète thì 1 2 3 0 (2). + + = x x x

Từ (1) và (2) được 2 0. = x Thay 0 = x vào

phương trình: 3 2 0 6 .0 5 5 0 1 − + − =  =  m m m . Điều kiện đủ:  Với 1 = m phương trình là:

3 0 6 0

6

=  − = =  

x x x

x

(thỏa mãn).

 Với 1 = − m phương trình là:

3 6 0 0 + =  = x x x (không thỏa mãn). Kết luận: 1 = m .

Thí dụ 2. Gọi ( ) ; M M M x y là một điểm thuộc

3 2 ( ): 3 2, = − + C y x x biết tiếp tuyến của (C) tại

M cắt (C) tại điểm ( ) ; N N N x y (khác M). Tìm giá

trị nhỏ nhất của

2 2 5 . = + M N P x x

Lời giải.

Giả sử tuyến của (C) tại M là : = + d y px q . Khi

đó ta có phương trình hoành độ giao điểm:

( ) 3 2 3 2 0 * . − − + − = x x px q

Theo đề bài ( ) * có hai nghiệm , M N x x trong đó

nghiệm M x là nghiệm kép (do M là tiếp điểm).

Theo định lý Viète thì

3 3 2 + + =  = − M M N N M x x x x x

dẫn đến: ( )

2 2 5 3 2 = + − M M P x x

( )

2 2 9 12 9 3 2 5 5. = − + = − +  M M M x x x

Đẳng thức xảy ra khi 2 3 = M x . Vậy min 5. = P

Thí dụ 3. Cho hàm số

( )

3 2 f x ax bx cx d = + + +

có các điểm cực trị là 1 2 = − x và 2 3 = x . Tìm tất

cả các giá trị của tham số m để phương trình

( ) ( ) = f x f m có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải. Không mất tổng quát ta chỉ cần xét với 0  a . Một tính chất của đồ thị hàm số bậc ba: Điểm uốn I là trung điểm của hai điểm cực trị, do đó:

1 3 2 3 2 2 + = − = − = CD CT I

x x b b x a a

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) *   CT CD f x f m f x .

Áp dụng định lý Viète cho trường hợp nghiệm bội của phương trình ( ) ( ) 2 = − f x f suy ra:

2

Số 528 (6-2021)

1 1 1 3 11 2 4 . 2 2    + = − −+ =  = CD

b x x x x a

Tương tự cho trường hợp nghiệm bội của phương trình ( ) ( ) 3 = f x f suy ra:

2 2 2 3 9 2 6 . 2 2    + = −  + =  = − CT

b x x x x a

Do đó:

( )  

9 11 2 2 9 11 * 2 ; \ 2;3 . 2 2 3

−        −  − −         

m

m m m

Lưu ý: Những kết quả hay nhầm 2 3 −  m hoặc

là 9 11 ; 2 2   −     m .

Thí dụ 4. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 0 = + + +  f x ax bx cx d a có đồ thị (C) đi

qua các điểm ( ) 1;1 , M ( ) ( ) 2;4 , 3;9 N P . Các

đường thẳng , , MN NP PM cắt đồ thị lần lượt tại

các điểm , , A B C (khác , , M N P ). Xác định các

hệ số , , , a b c d biết tổng các hoành độ của

, , A B C bằng 5.

Lời giải. Dễ thấy Parabol đi qua ba điểm

, , M N P có phương trình là

2 = y x . Suy ra ba

điểm , , M N P là giao của ( ) P và đồ thị ( ) C .

Nên ( ) ( )( )( ) 2 1 2 3 − = − − − f x x a x x x

( ) ( ) 3 2 1 6 11 6  = + − + − f x ax a x ax a (*).

Áp dụng định lý Viète ta được:

1 6

1 6 .

1 6

−  + + = −   −  + + = −    − + + = − 

M N A

N P B

P M C

a x x x a

a x x x a

a x x x a

Suy ra: ( ) 3 2 18 + + + + + = − A B C M N P x x x x x x a

3 5 2.6 18 3.  + = −  = a a

Vậy ( )

3 2 3 17 33 18 = − + − f x x x x .

Kết luận: 3, 17, 33, 18. = = − = = − a b c d

Thí dụ 5. Cho hàm số ( ) 3 3 2 = − + y x x C . Biết

đường thẳng : = + d y mx n cắt (C) tại ba điểm

phân biệt , , A B C . Các tiếp tuyến tại ba điểm

, , A B C của đồ thị (C) cắt đồ thị (C) lần lượt tại

các điểm , ,    A B C (tương ứng khác , , A B C ).

Chứng minh rằng ba điểm , ,    A B C thẳng hàng.

Lời giải. Gọi tọa độ ( ) ( ) 3 , 3 2 − +  A a a a C và

tiếp tuyến tại A của ( ) C cắt ( ) C tại điểm thứ hai

là ( ) ;    A x y . Theo định lý Viète thì

3 0 2 ( 2 ; 8 6 2).    + + =  = −  − − + + a a x x a A a a a

Do 3 3 2   − …