Sử dụng tính chất của lũy thừa để giải phương trình và hệ phương trình

1

Số 533 (11-2021)

Xin nhắc lại một số tính chất của lũy thừa đã biết :

Tính chất 1. Cho n là số nguyên dương.

1) Với a, b là số thực ta có:

2 1 2 1.      n n a b a b

2) Với a, b là số thực không âm ta có:

2 2 .    n n a b a b

3) Với a, b là số thực không dương ta có:

2 2 .    n n a b a b

4) Cho a là số thực dương, b là số thực ta có:

2 2 .      n n a b a b a

  a b hoặc b > a 2 2 .   n n b a

Tính chất 2. Với n là số nguyên dương và a, b là số thực ta có:

 

0 1 1 .. ..        n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b

(công thức nhị thức Newton). Sau đây là một số thí dụ có vận dụng các tính chất này.

Thí dụ 1. Giải phương trình:

`   

9 5 2 4 3 3 2 1 2 2 9 x x x x       (1).

Lời giải. Ta có:

       

 

9 3 3

5 4 3

1 1 1 2 1 2

2 3 1

VT x x x

x x

     

   

  

  

9 3 3

5 3 2

1 1 2 2

1 3 3 3 1

       

         

x x

x x x x

  

    

9 3 3

5 3

1 1 2

.

2

1 1 2 1

       

        

x x

x x

• Với    3 1 1 2 0    x x thì

     3 1 1 2 0.     x x

Theo tính chất 1 ta có:

    

9 9 3 3 3 1 1 2 2 2 8;          x x

    

5 3 5 1 1 2 1 1 1.           x x

Suy ra  VT 1 9. 

• Với    3 1 1 2 0    x x thì

  

3 1 1 2 0.         x x

Theo tính chất 1 ta có:

    

9 9 3 3 3 1 1 2 2 2 8;          x x

    

5 3 5 1 1 2 1 1 1.           x x

Suy ra  VT 1 9. 

• Với    3

3 1 1 1 2 0 . 1 2

      

x x x

x

Khi này  VT 1 9.  Vậy phương trình đã cho có

đúng 2 nghiệm 3 1; 1 2.   x x Thí dụ 2. Giải phương trình:

33 33 2 2 33 1 1 3 2 2 3 1 (1).                      x x x x x x

Lời giải. ĐK: 0  x . Khi đó:

    

33 33 2 2 1 1 VT 1 1 1 1 1 .                     x x x x x x

Do  

2 1 0   x nên  

2 1 1 1 1 1 .     x x x x x

Theo tính chất 1 ta có:

2

Số 533 (11-2021)

 

33 33 2 1 1 1 1 1                    x x x x x (2).

Tương tự, do  

2 1 1 1 1 1       x x x x x nên

 

33 33 2 1 1 1 1 1                    x x x x x (3).

Từ (2) và (3) suy ra:



33 33 1 1 VT 1 1 1                   x x x x (4).

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

1 1 1 2 . 2.      x x x x x x

Theo tính chất 1 với n là số nguyên dương có:

2 2

2 . 1 1 2                

n n

n x x x x

Đặt 1   t x x ta có 2 2 2  n n t (5). Áp dụng công

thức nhị thức Newton có:  

33 0 1 2 2 33 33 33 33 33 33 ; 1 ...       t C C t C t C t

 

33 0 1 2 2 33 33 33 33 33 33 1 ... .       t C C t C t C t

Suy ra:    

33 33

33 33 1 1 1 1 1 1                    x x t t x x

  0 2 2 32 32 33 33 33 2 ..    C C t C t (6).

Từ (5) suy ra:

    0 2 2 32 32 0 2 2 32 32 33 33 33 33 33 33 2 .. 2 2 .. 2 .      C C t C t C C C

Thay 2  t vào (6) ta được:

  33 0 2 2 32 32 33 33 33 3 . 2 1 2 . 2    C C C .

Do đó:   0 2 2 32 32 33 33 33 33 2 .. 3 1     C C t C t (7).

Từ (4),(6) và (7) suy ra   VT 1 VP 1 . 

Đẳng thức xảy ra

 

2

2

2

1 0

1. 1 2

               

n

n

x

x x x

Vậy phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm

1  x .

Thí dụ 3. Giải phương trình:

2 21 2 21 2 21 (2 7) ( 3) 3 5         x x x x x (1).

Lời giải. Ta có:

   

21 21 2 2 VT(1) 2 4 1 4 1 .               x x x x

Áp dụng công thức nhị thức Newton có:

 

21 0 1 2 2 21 21 21 21 21 21 1 ... .       x C C x C x C x

Tương tự:

 

21 0 1 2 2 21 21 21 21 21 21 1 ... .       x C C x C x C x

Suy ra:      21 21 1 1     P x x x

  0 2 2 20 20 21 21 21 2 ..    C C x C x (*).

Thay 2  x vào (*) ta được:

  21 0 2 2 20 20 21 21 21 3 1 2 2 .. 2 .    C C C

• Với 2 4  x theo tính chất 1 ta có:

   

21 21 2 ; 2 4 1 1    …