Một số định hướng giải phương trình vô tỉ

MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PT VÔ TỈ - PHẦN 1

UI. Giải phương trình đa thức bậc 4

U1. Sơ lược cách giảiU:

Phương trình bâc 4 dạng: 4 3 2 0 ax bx cx dx e + + + + = (1), (a, b, c, d, e nguyên).

Nhìn chung phương trình có hai nghiệm (trường hợp vô nghiệm ta nói sau), do đó mục tiêu và thường hay làm là đưa về phương trình tích của hai tam thức bậc hai:

( ) ( )( ) 2 2 1 ' ' ' 0 mx nx p m x n x p ⇔ + + + + = (2).

Trong đó ta chú ý ' , ' mm a pp e = = và các số m, m’, p, p’ nguyên và thường là nhẩm để thử tính, kết hợp máy tính cầm tay Casio fx 570 ES, VN.

Đặc biệt nếu hạn chế sử dụng máy tính Casio thì ta chỉ phân tích tự luận. Nếu a khác 1 thì ta chia cả hai vế cho a để đưa về a = 1. Phương trình (2) là mục tiêu cuối và để giải, bước trung gian là dựa vào hằng đẳng thức ( )( ) 2 2 0 0 M N M N M N − = ⇔ + − = .

Cụ thể hơn ta xét dạng sau: ( ) ( ) 2 2 2 0 x Bx C Dx E + + − + = . Xét ví dụ

 Ví dụ 1: Giải phương trình 4 2 10 20 0 x x x − − + = (1).

Hướng phân tích:

Đầu tiên ta định hướng đưa về dạng: ( ) ( ) 2 2 2 0 x Bx C Dx E + + − + = .

Nhưng vì hệ số bậc 3 bằng 0 nên B = 0, còn lại là: ( ) ( ) 2 2 2 0 x C Dx E + − + = (*).

Để ý số e = 20 ta có 2 2 2 20 20 C E E C − = ⇒ = ± − , và ta có thể chọn C để E hữu tỉ.

20 4.47 ≈ nên chọn C hữu tỉ chẳng hạn 9 11 ; 5; ;... 2 2 ± ± ± và 9 1 2 2 C E = ± ⇒ = ± (đẹp)

Hay như 6 4 C E = ± ⇒ = ± . Bây giờ ta thử trừ và nhẩm trực tiếp:

( ) ( )

( ) ( )

2 2 4 2 2

2 2 4 2

9 10 20 2

6 10 20

x x x x Dx E

x x x x

  ± − − − +     + =   ± − − − + 

Ta được ( )

2 2 1 2 Dx E x   + = +    

ứng với 9 2 C = − .

Hướng dẫn giải:

( ) ( )( )

2 2 2 2 2 9 1 1 0 4 5 0 2 2 x x x x x x     ⇔ − − − = ⇔ + − − − =        

…

 Ví dụ 2: Giải phương trình 4 3 2 2 10 11 1 0 x x x x − + + −= (2).

Hướng phân tích:

Đầu tiên ta chia hai vế cho 2 đưa về a = 1, ta có: 4 3 2 11 1 1 5 0 2 2 2 x x x x − + + − = .

Tiếp theo định hướng đưa về phương trình sau: ( )

2 2 2 5 0 2 x x C Dx E   − + − + =    

.

Để ý 2 2 2 1 1 1 2 2 2 e C E E C = − ⇒ − = − ⇒ = ± + . Cho C hữu tỉ chạy để tìm E hữu tỉ, chẳng

hạn 1 3 4 4 C E = ± ⇒ = ± . Ta trừ thử trực tiếp xem sao:

2 2 2 4 3 2 3 5 1 11 1 1 5 4 2 4 2 2 2 Dx x x x x x x       ± = − ± − − + + −            

.

Ứng với ( )

2 2 1 1 3 4 2 4 C Dx E x   = − ⇒ + = +    

.

Hướng dẫn giải:

PT ( )

2 2 2 5 1 1 3 2 0 2 4 2 4 x x x     ⇔ − − − + =         ( ) 2 2 1 2 3 1 0 2 x x x x   ⇔ − + − − =    

…

 Ví dụ 3: Giải phương trình 3 2 4 6 1 0 6 1 2 x x x x + + + + = (3).

Hướng phân tích:

Ở đây là ( ) ( ) 2 2 2 3 x x C Dx E + + − + và ta thử chọn C = 2 và tiếp theo là

2 2 2 4 2 2 C E e E E − = ⇔ − = ⇔ = ± .

Nói cách khác ( ) 2 Dx E + hoặc là bình phương đúng hay hằng số và ta thử trừ trực tiếp :

( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 2 3 2 6 6 11 2 x Dx E x x x x x + = − + + + + + + = ( ) 2 2 2 4 2 2 2 x x x − + = −

Hướng dẫn giải:

( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 2 0 6 6 11 2 2 0 3 2 x x x x x x x + + + + − + + = ⇔ − =

( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 3 2 2 0 2 x x x x + + + − + − +   +  ⇔ =    …

UNhận xétU :

Cách làm cũng không quá khó khăn khi mà hạn chế hay cấm Casio trong phòng thi!