Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trong chương trình toán THPT, để chứng minh một số hệ thức lượng giác, ta thường

sử dụng các biến đổi lượng giác. Câu hỏi đặt ra, ngoài các cách biến đổi lượng giác thì ta có cách

tiếp cận nào khác để giải quyết vấn đề không? Để trả lời câu hỏi này, bài viết sau đây mời bạn

đọc cùng đến với hướng tiếp cận hình học cho chứng minh một số hệ thức lượng giác.

I. CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1. Chứng minh rằng với x y  +  , ta có

( ) sin sin cos cos sin . x y x y x y + = +

Chứng minh 1. Gọi z là góc thỏa mãn x y z  + + = . Ta có , , x y z là ba góc của một tam giác. Không mất tổng quát, giả sử tam giác đó nội tiếp đường tròn bán kính

1 2 r = .

Ta có 1 sin : 2 2 c z c = = , tương tự sin x a = , sin y b = .

Từ công thức cos cos c a y b x = + , ta có

( )

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin .

z x y x y

x y x y x y

= +

 + = +

Chứng minh 2.

Vẽ tam giác ABC với H là chân đường cao hạ từ đỉnh A lên cạnh . BC Đặt

; BAH x CAH y = = và ; ; . AB a AC b AH h = = =

Ta có ABC ABH ACH S S S    = +

( ) 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ab x y ah x bh y  + = +

( ) 1 1 1 sin cos .sin cos .sin 2 2 2 ab x y ab y x ba x y  + = +

( ) sin sin cos cos sin . x y x y x y  + = +

Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định

hướng tiếp cận năng lực người học

Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác

Ths. HOÀNG MINH QUÂN GV Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Chứng minh 3.

Vẽ tam giác ABC với D là chân đường cao hạ từ đỉnh A , E là chân đường cao hạ từ đỉnh C ,

  , BAC x ABC y   . Khi đó  ACD x y   .

Ta có   . . . . . CE AE EB CE AB AD BC CE AB AD BC BC

    

Mặt khác, lại có      . sin sin . . .

CE AE EB AD AE CE CE EB x y ACD AC AC BC AC BC AC BC

      

hay   sin cos sin sin cos . x y x y x y   

Bài 2. Chứng minh rằng với ; 0; 2 x y       

và x y  ta có

  sin sin cos cos sin . x y x y x y   

Chứng minh 1. Dựng tam giác ABC vuông tại A, gọi D là điểm thuộc cạnh AC sao cho

  , . ABC x ABD y  

Đặt ; BC a BD b   . Ta có cos cos ; sin sin AB b y a x AD a x b y     .

Mặt khác ta có 1 1 . . 2 2 BCD ABC ABD S S S AB AC AB AD       

 

 

. .sin . .

. .sin cos . sin cos . sin

BD BC x y AB AC AB AD

b a x y b y a x a x b y

   

   

  sin cos .sin cos .sin . x y y x x y    

Chứng minh 2.

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Vẽ tam giác ABC vuông tại A, độ dài 1 BC . Trên cạnh AC lấy điểm D,

đặt    ; . ABC x ABD y DBC x y      Gọi E là hình chiếu của D lên cạnh BC . Đặt

; BD h DE d   .

Ta có cos cos cos ; cos . cos cos AB AB AB x x AB x y h BC AD y y       

Trong tam giác vuông EBD có   sin d h x y   .

Mặt khác, sin sin . CD CA AD x h y     Do đó trong tam giác vuông EDC , ta có

sin .sin .cos d C d CD C CD x CD       sin sin cos . x h y x  

Vậy ta có     sin sin sin cos d h x y x h y x    

    sin sin sin cos h x y x h y x       cos cos sin sin sin cos cos cos x x x y x y x y y          

  sin cos .sin cos .sin . x y y x x y    

Bài 3. Chứng minh rằng với ; 0; 2 x y       

, ta có

  cos cos cos sin sin . x y x y x y    (3)

Chứng minh 1. Dựng tam giác ABC có đường cao AH , đặt ; AB a AC b   và góc

     ; . 2 2 ABC x HAC y BAC x y x y           