Bài giảng khoảng cách trong không gian

Trang 1

BÀI GIẢNG KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững khái niệm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, từ một điểm đến mặt phẳng

và khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng.

+ Nắm được khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

+ Nắm vững các tính chất về khoảng cách.

 Kĩ năng

+ Xác định được hình chiếu của một điểm đến đường thẳng và trên mặt phẳng.

+ Biết cách tính khoảng cách trong từng trường hợp.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng . Gọi H là hình

chiếu vuông góc của O trên . Khi đó khoảng cách

OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến .

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Cho mặt phẳng   và một điểm O. Gọi H là hình

chiếu của O trên mặt phẳng  . Khi đó khoảng

cách OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến

mặt phẳng  .

  , . d O OH 

Nhận xét: , OH OM M   

   , .   d O OH

Nhận xét:  , OH OM M    

TOANMATH.com Trang 2

Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt

phẳng

Cho đường thẳng  và mặt phẳng   song song

với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì

trên  đến mặt phẳng   được gọi là khoảng

cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng  .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng  và   song song với nhau.

Khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này

đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa

hai mặt phẳng  và  .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b. Độ dài đoạn

vuông góc chung MN của a và b được gọi là

khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b.

      , , d d M     với M 

         , , , d d M d N       với

  , . M N    

  , . d a b MN 

TOANMATH.com Trang 3

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Khoảng cách từ điểm đến

đường thẳng

Khoảng cách từ điểm đến mặt

phẳng

Khoảng cách từ đường thẳng

đến mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai mặt

phẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường

thẳng chéo nhau

  , d O OH 

   , d O OH  

      , , d d M    

      ; ; d d M    

 M   

  , d a b MN 

TOANMATH.com Trang 4

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Phương pháp giải

Bài toán: Xác định khoảng cách từ điểm O đến

mặt phẳng  P .

Bước 1. Xác định hình chiếu H của O trên  .

+) Dựng mặt phẳng  P chứa O và vuông góc với

 .

+) Tìm giao tuyến   của  P và  .

+) Kẻ   OH H  . Khi đó    ; . d O OH  

Bước 2. Tính OH.

Lưu ý: Tính chất của tứ diện vuông.

Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O.

  ; ; OA OB OB OC OC OA    và H là hình chiếu

của O trên mặt phẳng   ABC .

Khi đó ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 . OH OA OB OC   

Ví dụ. Khối chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông

cân tại B và   , AB a SA ABC   . Góc giữa cạnh

bên SB và mặt phẳng   ABC bằng 60O . Tính

khoảng cách từ A đến  . SBC

Hướng dẫn giải

Ta có   ; AH SB AH BC AH SBC    

    . . AH d A SBC  

Tam giác SAB vuông tại A nên

2 2 2 1 1 1 3 2 a AH AH SA AB    