Bài giảng vectơ trong không gian, hai đường thẳng vuông góc

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI GIẢNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Trình bày được các tính chất, quy tắc biểu diễn vectơ.

+ Phát biểu được tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng.

 Kĩ năng

+ Chứng minh được các đẳng thức vectơ, biểu diễn được vectơ theo các vectơ không trùng

phương với nó.

+ Nắm được phương pháp chứng minh sự cùng phương của hai vectơ, tìm được điều kiện của ba

vectơ đồng phẳng.

+ Tính được góc giữa hai đường thẳng. Vận dụng được tích vô hướng của hai vectơ để giải các

bài toán.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

A. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Các định nghĩa

a) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt

điểm đầu và điểm cuối).

+) Ký hiệu vectơ: AB  (điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay

, , ,... a x y 

+) Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm

cuối của vectơ đó.

+) Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm

cuối của vectơ đó.

b) Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối

trùng nhau.

c) Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của

chúng song song hoặc trùng nhau.

d) Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược

hướng.

e) Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và có

cùng độ dài.

f) Hai vectơ đối nhau là hai vectơ ngược hướng

nhưng có cùng độ dài.

Các quy tắc tính toán với vectơ

g) Quy tắc ba điểm (với phép cộng)

AB BC AC     

h) Quy tắc ba điểm (với phép trừ)

OB OA AB     

i) Quy tắc hình bình hành

Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB AD AC      .

j) Quy tắc hình hộp. Nếu . ABCD A B C D  là hình

hộp thì

AC AB AD AA         

k) Phép nhân một số k với một vectơ a  .

Ta có ka  là một vectơ được xác định như sau.

+ cùng hướng với a  nếu 0 k  .

Sự cùng phương của hai vectơ

 a  và 0 b    cùng phương

: . k a k b     

 a  và 0 b    cùng hướng

: . k a k b      

 a  và 0 b    ngược hướng

: . k a k b      

 Ba điểm A, B, C thẳng hàng

: . k AB k AC     

Quy tắc ba điểm (mở rộng).

1 1 2 2 3 1 ... n n n AX X X X X X X X B AB             .

TOANMATH.com Trang 3

+ ngược hướng với a  nếu 0 k  .

+ có độ dài . ka k a   

Một số hệ thức vectơ hay dùng

l) Hệ thức về trung điểm của đoạn thẳng

I là trung điểm của đoạn thẳng 0 AB IA IB      

2 OA OB OI      (với O là một điểm bất kỳ).

m) Hệ thức về trọng tâm của tam giác

G là trọng tâm của tam giác 0 ABC GA GB GC        

3 OA OB OC OG         (với O là một điểm bất kỳ)

2 3 AG AM     (với M là trung điểm cạnh BC).

n) Hệ thức về trọng tâm của tứ diện

G là trọng tâm của tứ diện ABCD

0 GA GB GC GD          

4 OA OB OC OD OG           (với điểm O bất kỳ)

3 4 AG AA     (với A là trọng tâm của BCD  )

0 GM GN       (với M, N là trung điểm một cặp cạnh

đối diện).

Sự đồng phẳng của ba vectơ

o) Định nghĩa

Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu

giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

p) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Trong không gian cho hai vectơ ,a b  không cùng phương

và vectơ c  .

Khi đó, ,a b  và c  đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số

  ; m n sao cho c ma nb      (cặp số   ; m n nêu trên là duy

nhất)

q) Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng

phẳng

Cho ba vectơ ,a b  và c  không đồng phẳng.

Với mọi vectơ x

 , ta đều tìm được duy nhất một bộ số

Hệ quả

Nếu có một mặt phẳng chứa vectơ này đồng

thời song song với giá của hai vectơ kia thì

ba vectơ đó đồng phẳng.

Ứng dụng:

Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng

, , AB AC AD  

đồng phẳng . . AB m AC n AD      

Chú ý: