Bài toán về góc trong không gian

CHỦ ĐỀ 5: BÀI TOÁN VỀ GÓC

Vấn đề 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ.

Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a′, b′ lần lượt song song

với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2

đường thẳng a′ và b′ không thay đổi.

Do đó ta có định nghĩa:

Định nghĩa: Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng a′ và b′ cùng đi

qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi

vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

Nếu u 

là vecto chỉ phương của đường thẳng a và v 

là vecto chỉ phương của đường thẳng b và ( ) u;v = α 

thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng α nếu 0 90 ≤α ≤ ° và bằng 180°−α nếu 90 180 ° < α ≤ ° . Nếu 2

đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°. Góc giữa 2 đường thẳng là

góc có số đo 0 90 ≤α ≤ °.

3. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng

Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian chúng ta cần nhớ các công thức sau:

■ Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: 

2 2 2 AB AC BC cosBAC 2.AB.AC + − =

Tương tự ta có: 

2 2 2 BA BC AC cosABC 2.BA.BC + − = và 

2 2 2 CA CB AB cosACB 2.CA.CB + − =

Chú ý:  ( ) 2 2 2 1 AB.AC AB.ACcosBAC AB AC BC 2 = = + − 

■ Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ AB 

và CD 

dựa vào công thức

( ) ( )

AB.CD AB.CD cos AB;CD cos AB;CD AB . CD AB . CD = ⇒ =

       từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, ( ) SA ABC ⊥ và SA a 3 = . Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.

Lời giải

Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra a AM CE 2 = = .

Khi đó  ( )  ( ) AE / /CM AE;CM AN;AE . ⇒ = = ϕ

Mặt khác 2 2 SC SA AC 2a = + = ⇒ độ dài đường trung tuyến AN là

SC a 3 AN a.AE CM . 2 2 = = = =

Do ABC ∆ đều nên CM AM ⊥ ⇒ AMCE là hình chữ nhật.

Khi đó CE AE ⊥ mà ( ) CE SA CE SAE CE SE. ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

SEC ∆ vuông tại E có đường trung tuyến 1 EN SC a. 2 = =

Ta có: 

2 2 2 AN AE NE 3 3 cos NAE 0 cos . 2.AN.AE 4 4 + − = = > ⇒ ϕ =

Cách 2: Ta có: ( ) 1 1 AN AS AC ;CM AM AC AB AC. 2 2 = + = − = −        

Khi đó ( )

2 2 2 2 1 1 1 1 1 a 3a AN.CM AS AC AB AC AB.AC AC a cos60 . 2 2 4 2 4 2 8 −   = + − = − = °− =    

     

Lại có:

2 3a 8 SC a 3 3 AN a;CM cos . 2 2 4 a 3 a. 2

−

= = = ⇒ ϕ = =

Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ

để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB a;AC a 2 = = = = = và BC a 3 = . Tính cosin góc giữa

hai đường thẳng SC và AB.

Lời giải

Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó

 ( )  ( ) MP / /SC SC;AB MP;MN . N / /AB  ⇒ =  

Ta có: AB a SC a MN ;MP . 2 2 2 2 = = = =

Mặt khác SAC ∆ vuông tại S AC a 2 SP . 2 2 ⇒ = =

2 2 2 2 2 BA BC AC 3 a 6 BP a BP . 2 4 2 2 + = − = ⇒ =

Suy ra

2 2 2 2 2 PS PB SB 3a a 3 PN NP . 2 4 4 2 + = − = ⇒ =