Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề hàm số - Lưu Huy Thưởng

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1

LÝ THUYẾT KHẢO SÁT HÀM SỐ

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x ⇔∀ ∈ < ⇒ <

Hàm số f nghịch biến trên K 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x ⇔∀ ∈ < ⇒ >

2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì '( ) 0, f x x I ≥ ∀ ∈

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì '( ) 0, f x x I ≤ ∀ ∈

3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu '( ) 0, f x x I ≥ ∀ ∈ ( '( ) 0 f x = tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.

b) Nếu '( ) 0, f x x I ≤ ∀ ∈ ( '( ) 0 f x = tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.

c) Nếu '( ) 0 f x = thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. 4. Điều kiện hàm số luôn đồng biến trên một miền xác định. Cho hàm số ( , ) y f x m = , m là tham số, có tập xác định D.

• Hàm số f đồng biến trên D ' 0, y x D ⇔ ≥ ∀ ∈

• Hàm số f nghịch biến trên D ' 0, y x D ⇔ ≤ ∀ ∈ .

Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: ● ' 0 y = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

●Nếu 2 ' y ax bx c = + + thì:

•

0

0 ' 0, 0

0

a b

c y x R a

= = ≥  ≥ ∀ ∈ ⇔> ∆≤ 

•

0

0 ' 0, 0

0

a b

c y x R a

= = ≤  ≤ ∀ ∈ ⇔< ∆≤ 

●Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2 ( ) g x ax bx c = + + :

♣ Nếu 0 ∆< thì ( ) g x luôn cùng dấu với a .

♣ Nếu 0 ∆= thì ( ) g x luôn cùng dấu với a (trừ 2

b x a = − )

♣ Nếu 0 ∆> thì ( ) g x có hai nghiệm 1 2 , x x và trong khoảng hai nghiệm thì ( ) g x khác dấu

vớia , ngoài khoảng hai nghiệm thì ( ) g x cùng dấu với a .

●So sánh các nghiệm 1 2 , x x của tam thức bậc hai 2 ( ) g x ax bx c = + + với số 0:

♣ 1 2

0

0 0 0 x x P S

∆>  < < ⇔ >  < 

♣ 1 2

0

0 0 0 x x P S

∆>  < < ⇔ >  > 

♣ 1 2 0 0 x x P < < ⇔ <

●Để hàm số 3 2 y ax bx cx d = + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) 1 2 ( ; ) x x bằng d thì

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2

ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính ' y .

Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

0

0

a ≠ ∆>  (1)

Bước 3: Biến đổi 1 2 x x d − = thành 2 2 1 2 1 2 ( ) 4 x x x x d + − =

(2) Bước 4: Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và 0 x D ∈ .

a) 0 x – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng ( ; ) a b D ∈ và 0 ( ; ) x a b ∈ sao cho

{ } 0 0 ( ) ( ), ( ; )\ f x f x x a b x < ∀ ∈ .

Khi đó 0 ( ) f x được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của f.

b) 0 x – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng ( ; ) a b D ∈ và 0 ( ; ) x a b ∈ sao cho

{ } 0 0 ( ) ( ), ( ; )\ f x f x x a b x > ∀ ∈ .

Khi đó 0 ( ) f x được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.

c) Nếu 0 x là điểm cực trị của f thì điểm ( ) 0 0 ; ( ) x f x được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại 0 x và đạt cực trị tại điểm đó thì 0 '( ) 0 f x = .

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo

hàm. 3. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( ; ) a b chứa điểm 0 x và có đạo hàm trên

{ } 0 ( ; ) \ a b x

a) Nếu '( ) f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0 x thì f đạt cực tiểu tại 0 x .

b) Nếu '( ) f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua 0 x thì f đạt cực đại tại 0 x .

2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm 0 x , 0 '( ) 0 f x = và có đạo

hàm cấp hai khác 0 tại điểm 0 x .

a) Nếu 0 ''( ) 0 f x < thì f đạt cực đại tại 0 x .

b) Nếu 0 ''( ) 0 f x > thì f đạt cực tiểu tại 0 x .

4. Quy tắc tìm cực trị

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.