Tài liệu chuyên đề mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NÓN – TRỤ – CẦU

Page 1

MẶT TRÒN XOAY – NÓN – TRỤ

I. SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAY

– Trong không gian cho mặt phẳng ( ) P chứa đường thẳng ∆ và một đường

C. Khi quay mặt phẳng ( ) P quanh ∆ một góc 360 thì mỗi điểm M trên C

vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc ∆ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với ∆. Như vậy khi quay mặt phẳng ( ) P quanh đường thẳng ∆ thì C

sẽ tạo nên được một hình gọi là mặt tròn xoay. – Trong đó: đường C được gọi là đường sinh của mặt nón; đường thẳng ∆ được gọi là trục của mặt tròn xoay.

II. MẶT NÓN TRÒN XOAY

1. Định nghĩa mặt nón tròn xoay

– Trong mặt phẳng ( ) P cho hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau

tại điểm O và tạo thành góc α (với 0 90 < <   α ). Khi quay mặt phẳng ( ) P xung quanh ∆ thì đường thẳng d sinh ra một mặt

tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O . – Gọi tắt là mặt nón tròn xoay. – Trong đó: Đường thẳng ∆ được gọi là trục; đường thẳng d được gọi là đường sinh; góc 2α được gọi là góc ở đỉnh.

2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay

a) Hình nón tròn xoay

– Cho ∆IOM vuông tại I . Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh vuông góc OI thì đường gấp khúc IOM tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón. – Trong đó: + Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của mình nón. + Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón. + Độ dài đoạn OI được gọi là chiều cao của hình nón. + Độ dài đoạn OM được gọi là độ dài đường sinh của hình nón.

CHƯƠNG

III

MẶT TRÒN XOAY

NÓN – TRỤ – CẦU

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NÓN – TRỤ – CẦU

Page 2

+ Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh OI được gọi là mặt xung quanh của hình nón.

b) Khối nón tròn xoay

– Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình đó được gọi là khối nón tròn xoay hay còn gọi tắt là khối nón. – Trong đó: + Điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón gọi là điểm trong của khối nón. + Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.

3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón tròn xoay

a) Diện tích xung quanh của hình nón

– Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh tăng lên vô hạn. – Công thức: = xq S rl π .

Trong đó: r là bán kính đáy; l là độ dài đường sinh.

b) Diện tích toàn phần của hình nón

– Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay là tổng diện tích mặt đáy với diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay. – Công thức: 2 = + = + tp x đáy q S S S r rl π π .

c) Diện tích hình quạt

– Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được: + Một hình quạt có bán hính bằng độ dài đường sinh của hình nón. + Một cung tròn có độ dài bằng chu vi đường tròn đáy của hình nón. – Công thức: qu ta = =  xq S S rl π .

O B C

A

O B C

A

O B C

A

CHUYÊN ĐỀ VI – HÌNH HỌC 12 – NÓN – TRỤ – CẦU

Page 3

4. Thể tích của khối nón tròn xoay

– Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón khi đó số cạnh tăng lên vô hạn.

– Công thức: 1 . 3 = đáy V S h . Trong đó: h là chiều cao của khối

nón.

– Nếu đáy là hình tròn có bán kính r thì 2 1 3 = V r h π .

5. Hình nón cụt

– Hình nón cụt là phần nón giới hạn bởi mặt đáy và một thiết diện song song với đáy. – Công thức + Diện tích xung quanh ( ) = + xq S R r l π .

+ Diện tích toàn phần ( ) ( ) 2 2 2 = + = + + + tp xq đáy S S S r R R r l π π .

+ Thể tích khối nón cụt ( ) 2 2 1 3 = + + V h R r Rr π .

Trong đó: , R r là bán kính hai đáy; = h IJ là độ cao hình chóp cụt.

III. MẶT TRỤ TRÒN XOAY:

1. Định nghĩa mặt trụ tròn xoay: Trong mp (P) cho hai đường thẳng ∆ và l song song nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay (P) xung quanh ∆ thì l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. ∆ gọi là trục, l gọi là đường sinh, r là bán kính của mặt trụ …