Chủ đề khối nón - khối trụ - khối cầu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

CHỦ ĐỀ 2 : KHỐI NÓN - TRỤ - CẦU

❖ MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN

1. Mặt nón tròn xoay

▪ Đường thẳng , d  cắt nhau tại O và tạo thành góc  với 0 0 0 90    . Mặt phẳng ( ) P chứa

, d  và ( ) P quay quanh trục  với góc  không đổi thì tạo thành mặt nón tròn xoay đỉnh O .

Trong đó:

•  gọi là trục

• d được gọi là đường sinh

• Góc 2 được gọi là góc ở đỉnh

2. Khối nón

▪ Khối nón là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay, kể cả hình nón đó. ▪ Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.

▪ Cho hình nón có chiều cao h , đường sinh l và bán kính đáy r . Khi đó, ta có các công thức sau:

• Diện tích xung quanh của hình nón: . . xq S r l  =

• Diện tích đáy của hình nón:

2 . day S r  =

• Diện tích toàn phần của hình nón:

2 . . . tp xq day S S S r l r   = + = +

• Thể tích của khối nón: 2 1 . . 3 non V r h  =

LÍ THUYẾT

Khối tròn xoay

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2

❖ MẶT TRỤ TRÒN XOAY

1. Mặt trụ

▪ Trong mặt phẳng ( ) P cho hai đường thẳng  và l song song với nhau, cách nhau một khoảng r

Khi quay mặt phẳng ( ) P xung quanh đường thẳng  thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay

được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. Trong đó:

• Đường thẳng  gọi là trục

• Đường thẳng l gọi là đường sinh

• r là bán kính của mặt trụ đó 2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

▪ Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. ▪ Mặt đáy, đường sinh, chiều cao, bán kính của một hình trụ cũng là mặt đáy, đuowngf sinh, chiều cao, bán kính của khối trụ tương ứng.

▪ Cho hình trụ có chiều cao h , đường sinh l , bán kính đáy r . Khi đó ta có các công thức sau:

• Diện tích xung quanh: 2 . . xq S r l  =

• Diện tích toàn phần:

2 2 . . 2 . tp S r l r   = +

• Thể tích của khối trụ: 2 . . V r h  =

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

❖ MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU

1. Mặt cầu

▪ Cho một điểm I cố định và một số thực dương R . Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian

cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I , bán kính R . Được kí hiệu là: ( ) ; S I R .

▪ Khi đó ( )   ; / S I R M IM R = = .

2. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

▪ Cho mặt cầu ( ) S có tâm I , bán kính R . Khi đó, ta có các công thức như sau:

• Diện tích mặt cầu: 2 4 . S R  =

• Thể tích của khối cầu: 3 4 . 3 V R  = .

3. Một số công thức tính đặc biệt về khối tròn xoay

▪ Hình nêm loại 1

Thể tích : 3 2. .tan 3 V R  =

▪ Hình nêm loại 2

Thể tích: 3 2 . .tan 2 3 V R     = −    

Khối tròn xoay

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 4

Lời giải Chọn C

.

Theo đề suy ra đường sinh l a = , và đường tròn đáy có bán kính 2 2 a r = . Khi đó

2 2 2 xq

a S  =

, diện tích đáy

2

2

a S  = . Vậy ( ) 2 2 1

2 tp

a S

 + = .

Lời giải Chọn A

. Gọi I là trung điểm của AB .

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a .

Tính diện tích tp S toàn phần của hình nón đó:

A. ( ) 2 2 8

2 tp

a S

 + = . B.

2 2 2 tp

a S  = .

C. ( ) 2 2 1

2 tp

a S

 + = . D. ( ) 2 2 4

2 tp

a S

 + = .

VÍ DỤ 2: Một hình nón đỉnh S , đáy hình tròn tâm O và SO h = . Một mặt phẳng ( ) P qua đỉnh S cắt

đường tròn ( ) O theo dây cung AB sao cho góc 90 AOB = , biết khoảng cách từ O đến ( ) P bằng 2

h . Khi

đó diện tích xung quanh hình nón bằng.

A.

2 10

3 h  . B.

2 10 3 3 h  . C.

2 2 10 3 h  . D.

2 10

6 h  .