Các dạng bài tập tính đơn điệu của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Bài tập theo CT mới 2025 Cánh Diều

CHƯƠNG 1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI 1

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm

Định lí 1: Cho hàm số  y f x  có đạo hàm trên tập K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc

đoạn.

 Nếu  ' 0, f x x K   thì hàm số  y f x  đồng biến trên K .

 Nếu  0, f x x K    thì hàm số  y f x  nghịch biến trên K .

Chú ý: Nếu hàm số  y f x  đồng biến trên tập K hoặc nghịch biến trên tập K thì hàm số  y f x 

còn được gọi là đơn điệu trên tập K .

Định lí 2: Cho hàm số  y f x  có đạo hàm trên tập K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc

đoạn.

 Nếu  ' 0, f x x K   và  ' 0 f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số  y f x 

đồng biến trên K .

 Nếu  ' 0, f x x K   và  ' 0 f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số  y f x 

nghịch biến trên K .

Nhận xét: Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số  y f x  , ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số  y f x  .

Bước 2: Tính đạo hàm  ' f x . Tìm các điểm   1,2,3,..., ix i n  tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0

hoặc không tồn tại.

Bước 3: Sắp xếp các điểm ix theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên để xét dấu ' '( ) y f x  .

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, nêu kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số:

a. Định nghĩa: Cho hàm số  y f x  liên tục trên tập K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc

nửa khoảng và 0 1 , x x K    .

 0x được gọi là điểm cực đại của hàm số  y f x  nếu tồn tại một khoảng ( ) ; a b chứa điểm ox sao

cho ( ) ; a b K Ì và     ( ) , ; \ o o f x f x x a b x   . Khi đó,   o f x được gọi là giá trị cực đại của hàm

số  y f x  , kí hiệu CD f .

Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Bài tập theo CT mới 2025 Cánh Diều

 1x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số  y f x  nếu tồn tại một khoảng ( ) ;c d chứa điểm 1x sao

cho ( ) ;c d K Ì và     1 1 ( ) , ; \ f x f x x c d x   . Khi đó,   1 f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm

số  y f x  , kí hiệu CT f .

 Điểm cực trị đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực

tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)

Chú ý: Nếu 0x là điểm cực trị của hàm số  y f x  thì người ta nói rằng hàm số  y f x  đạt cực trị

tại điểm 0x . Khi đó, điểm   ; ( ) o o M x f x được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số  y f x  .

b. Định lý : Giả sử hàm số  y f x  liên tục trên khoảng   ;a b chứa điểm ox và có đạo hàm trên các

khoảng   ; o a x và   ; ox b . Khi đó

 Nếu  ' 0 f x  với mọi   ; o x a x  và  ' 0 f x  với mọi   ; o x x b  thì hàm số  f x đạt cực tiểu

tại điểm 0x .

 Nếu  ' 0 f x  với mọi   ; o x a x  và  ' 0 f x  với mọi   ; o x x b  thì hàm số  f x đạt cực đại

tại điểm 0x .

Nhận xét: Để tìm điểm cực trị của hàm số  y f x  , ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số  y f x  .

Bước 2: Tính đạo hàm  ' f x . Tìm các điểm   1,2,3,..., ix i n  tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0

hoặc không tồn tại.

Bước 3: Sắp xếp các điểm ix theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên để xét dấu ' '( ) y f x  .

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số.