Chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Toán 12 chương trình mới

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

1

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên K với K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng

Hình 1. Hàm số đồng biến trên ( ) ;a b

• Hàm số ( ) y f x = được gọi là đồng biến trên K nếu ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , x x K x x f x f x      .

• Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (Hình 1)

Hình 2. Hàm số nghịch biến trên ( ) ;a b

• Hàm số ( ) y f x = được gọi là nghịch biến trên K nếu ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , x x K x x f x f x     

• Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (Hình 2) • Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên . K • Khi xét tính đơn điệu mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó.

C

H

Ư

Ơ

N

G

1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 01 BÀI

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ A

1 Tính đơn điệu của hàm số

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

2

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu:

Định lí 1: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên khoảng . K

• Nếu ( ) 0, f x x K    và ( ) 0 f x  = xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số ( ) y f x =

đồng biến trên khoảng K .

• Nếu ( ) 0, f x x K    và ( ) 0 f x  = xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số ( ) y f x =

nghịch biến trên khoảng K .

Chú ý: Nếu hàm số ( ) y f x = đồng biến trên tập K hoặc nghịch biến trên tập K thì hàm số ( ) y f x = còn

được gọi là đơn điệu trên tập K  .

Định lí 2: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên tập K  , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa

khoảng. Nếu ( ) 0 f x   (hoặc ( ) 0 f x   ) với mọi x thuộc K và ( ) 0 f x  = chỉ tại một số hữu hạn điểm

của K thì hàm số ( ) y f x = đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K .

Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên khoảng ( ) ;a b và điểm ( ) 0 ; x a b  .

• Nếu tồn tại số 0 h  sao cho ( ) ( ) 0 f x f x  với mọi ( ) ( ) 0 0 ; ; x x h x h a b  − +  và 0 x x  thì ta nói

hàm số ( ) f x đạt cực đại tại 0x .

• Nếu tồn tại số 0 h  sao cho ( ) ( ) 0 f x f x  với mọi ( ) ( ) 0 0 ; ; x x h x h a b  − +  và 0 x x  thì ta nói

hàm số ( ) f x đạt cực tiểu tại 0x .

Ghi chú:

• Nếu hàm số ( ) y f x = đạt cực đại tại 0x thì 0x được gọi là điểm cực đại của hàm số, ( ) 0 f x được

gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu CĐ f hay CĐ y , còn điểm ( ) ( ) 0 0 ; M x f x được gọi là điểm

cực đại của đồ thị hàm số. • Nếu hàm số ( ) y f x = đạt cực tiểu tại 0x thì 0x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số, ( ) 0 f x được

gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, kí hiệu CT f hay CT y , còn điểm ( ) ( ) 0 0 ; M x f x được gọi là điểm

cực tiểu của đồ thị hàm số. • Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (còn gọi là cực đại) và giá trị cực tiểu (còn gọi là cực tiểu) được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số. • Nếu hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên khoảng ( ) ;a b và có điểm cực trị là ( ) 0 ; x a b  thì ( ) 0 0 f x  =

Định lí: Giả sử hàm số ( ) y f x = liên tục trên khoảng ( ) 0 0 ; K x h x h = − + và có đạo hàm trên K hoặc trên

 0 \ K x , với 0 h  .

• Nếu ( ) 0 f x   trên khoảng ( ) 0 0 ; x h x − và ( ) 0 0 f x   trên khoảng ( ) 0 0 ; x x h + thì 0x là một điểm

cực đại của hàm số ( ) f x .

• Nếu ( ) 0 f x   trên khoảng ( ) 0 0 ; x h x − và ( ) 0 0 f x   trên khoảng ( ) 0 0 ; x x h + thì 0x là một điểm

cực tiểu của hàm số ( ) f x .

2 Cực trị của hàm số