Tài liệu chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 126

BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên miền D .

• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ( ) y f x = trên D nếu: ( ) ( ) 0 0

,

,

f x M x D

x D f x M

≤ ∀∈ ∃ ∈ = 

.

Kí hiệu: ( ) max x D M f x ∈ = hoặc ( ) max D M f x = .

• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y f x = trên D nếu: ( ) ( ) 0 0

,

,

f x m x D

x D f x m

≥ ∀∈ ∃ ∈ = 

.

Kí hiệu: ( ) min x D m f x ∈ = hoặc ( ) min D m f x =

2. Định lý

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn

Giả sử hàm số ( ) y f x = liên tục trên đoạn [ ] ;a b . Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của hàm f trên đoạn [ ] ;a b ta làm như sau:

Tìm các điểm 1 2 ; ;...; n x x x thuộc ( ) ;a b sao cho tại đó hàm số f có đạo hàm bằng hoặc

không xác định.

Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ; ;...; ; ; n f x f x f x f a f b .

So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [ ] ;a b , số nhỏ nhất trong

các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn [ ] ;a b .

* Nếu:

1) [ ] [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

;

;

max ' 0, ; min

a b

a b

f x f b y x a b f x f a

=  > ∀∈ ⇒ = 

2) [ ] [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

;

;

max ' 0, ; min

a b

a b

f x f a y x a b f x f b

=  < ∀∈ ⇒ = 

Chú ý

 0





CHƯƠNG

I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 127

Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm f rồi dựa vào nội dung của

bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên khoảng (nửa khoảng)

đó.

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không tồn tại.

* Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ.

DẠNG 1. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN BẰNG HÀM SỐ CỤ THỂ, BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO TRÊN ĐOẠN VÀ KHOẢNG.

Câu 1. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên [ ] 3;2 − và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Gọi M và

m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y f x = trên[ ] 1;2 − . Giá trị của

M m + bằng bao nhiêu ?

Câu 2. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số

4 2 2 1 y x x = + − trên đoạn 1; 3    .

b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số

3 2 3 2 y x x = − + + trên đoạn[ ] 1;2 − .

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( )

2 4 x f x x − − = trên đoạn 3 ;4 2      

.

Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 3 1 y x x = − + trên đoạn [ ] 0;2 .

Câu 5. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 2 2 2 x x y x − + = − trên

3;2 2 2   +  . Tính M m − .

Câu 6. Kí hiệu m và M lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 4 1 x x y x + + = + trên

đoạn [ ] 0;3 . Tính giá trị của tỉ số . M m

Câu 7. Gọi giá trị lớn nhất của hàm số, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )

2 4 x f x x − − = trên đoạn 3 ;4 2      

lần lượt là , M m . Tìm 3 M m −







HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN II