Tài liệu chuyên đề cực trị của hàm số

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 61

BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = xác định và liên tục trên khoảng ( ; ) a b và điểm 0 ( ; ) x a b ∈ .

+) Nếu tồn tại số 0 h > sao cho ( ) ( ) 0 f x f x < với mọi 0 0 ( ; ) x x h x h ∈ − + và 0 x x ≠ thì ta nói

hàm số ( ) y f x = đạt cực đại tại 0x .

+) Nếu tồn tại số 0 h > sao cho ( ) ( ) 0 f x f x > với mọi 0 0 ( ; ) x x h x h ∈ − + và 0 x x ≠ thì ta nói

hàm số ( ) y f x = đạt cực tiểu tại 0x .

* Chú ý +) Nếu hàm số ( ) y f x = đạt cực đại tại 0x thì 0x được gọi là điểm cực đại của hàm số; 0 ( ) f x

được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là ( ) CT f f CÑ , còn điểm 0 0 ( ; ( )) M x f x được gọi là

điểm cực đại của đồ thị hàm số. +) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại còn gọi là cực đại và được gọi chung là cực trị của hàm số. 2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1: Giả sử hàm số ( ) y f x = đạt cực trị tại điểm 0x . Khi đó nếu hàm số ( ) y f x = có đạo

hàm tại 0x thì 0 ( ) 0 f x ′ = .

CHƯƠNG

I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 62

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2: Giả sử hàm số ( ) y f x = liên tục trên 0 0 ( ; ) K x h x h = − + và có đạo hàm trên K hoặc

trên 0 \{ } K x , với 0 h > .

+) Nếu ( ) ' 0 f x > trên khoảng 0 0 ( ; ) x h x − và '( ) 0 f x < trên 0 0 ( ; ) x x h + thì 0x là một điểm cực

đại của hàm số ( ) y f x = .

+) Nếu ( ) 0 f x ′ < trên khoảng 0 0 ( ; ) x h x − và ( ) 0 f x ′ > trên 0 0 ( ; ) x x h + thì 0x là một điểm cực

tiểu của hàm số ( ) y f x = .

Minh họa bằng bảng biến thiến

* Chú ý +) Giá trị cực đại 0 ( ) f x của hàm số ( ) y f x = nói chung không phải là giá trị lớn nhất của hàm

số ( ) y f x = trên tập xác định của nó.

+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng 0 tại điểm 0x nhưng hàm số không đạt cực

trị tại điểm 0x .

4. Định lí 3: Giả sử hàm số ( ) y f x = có đạo hàm cấp hai trong khoảng 0 0 ( ; ) K x h x h = − + với 0 h > .

Khi đó: +) Nếu ( ) ( ) 0 0 0, 0 f x f x ′ ′′ = > thì 0x là điểm cực tiểu.

+) Nếu ( ) ( ) 0 0 0, 0 f x f x ′ ′′ = < thì 0x là điểm cực đại.

+) Nếu ( ) ( ) 0 0 0, 0 f x f x ′ ′′ = = thì phải lập bảng biến thiên để kết luận.

QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ a) Quy tắc 1

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính ( ) f x ′ . Tìm các điểm tại đó ( ) f x ′ bằng 0 hoặc ( ) f x ′ không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. b) Quy tắc 2

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính ( ) f x ′ . Giải phương trình ( ) 0 f x ′ = và ký hiệu ix ( ) 1,2,3,... i = là các nghiệm

của nó.

Bước 3. Tính ( ) f x ′′ và ( ) i f x ′′ .

Bước 4. Dựa vào dấu của ( ) i f x ′′ suy ra tính chất cực trị của điểm ix .

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 63

DẠNG 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI BIỂU THỨC.

Câu 1: Tìm cực trị của hàm số

3 2 3 9 1 y x x x = − − + .

Câu 2: Tìm cực trị của hàm số 3 2 1 2 4 5 3 y x x x = − + −.

Câu 3: Tìm cực trị của hàm số

3 2 2 3 6 1 y x x x = − − − + .

Câu 4: Tìm cực trị của hàm số

4 2 1 2 3 2 y x x = − −.

Câu 5: Tìm cực trị của hàm số

4 2 4 5 y x x = − + −.

Câu 6: Tìm cực trị của hàm số

4 2 4 1 y x x = + + .

Câu 7: Tìm cực trị của hàm số ( ) ( ) 3 2 1 3 8 y x x = − − .

DẠNG 2 : RIÊNG VỀ CỰC TRỊ HÀM BẬC 3

1. Cho hàm số bậc ba ( ) ( ) ( ) 3 2 0 , 1 y f x ax bx cx d a = = + + + ≠

a. Ta có 2 3 2 y ax bx c ′ = + + ; 2 3 b ac ′ ∆= −

• Hàm số không có điểm cực trị ⇔ phương trình 0 y′ = vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

0 ′ ⇔∆≤ .

• Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ phương trình 0 y′ = có hai nghiệm phân biệt 0 ′ ⇔∆> .

b. Trong trường hợp 0 ′ ∆> , gọi ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; A x y B x y là tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số ( ) 1 , trong đó 1 2 , x x là 2 nghiệm phân biệt của …