134 bài toán đơn điệu, cực trị, GTLN - GTNN, tương giao của đồ thị hàm số (VD - VDC)

½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐVD-VDC

ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GTLN-GTNN TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒTHỊHÀM (VD-VDC)

CÂU 1. Cho hàm sốy = f (x) liên tục và xác định trên R. Biết f (x) có đạo hàm f ′(x) và hàm số y = f ′(x) có đồthịnhư hình vẽ,

x

y

O −1 1

khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm sốf (x) đồng biến trên R. B. Hàm sốf (x) nghịch biến trên R. C. Hàm sốf (x) chỉnghịch biến trên khoảng (−∞;0). D. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (0;+∞). Ê Lời giải. Trong khoảng (0;+∞) đồthịhàm sốy = f ′(x) nằm phía dưới trục hoành nên hàm sốf (x) nghịch biến trên khoảng (0;+∞). Chọn đáp án D □

CÂU 2. Cho hàm sốy = f (x) liên tục và xác định trên R. Biết f (x) có đạo hàm f ′(x) và hàm số y = f ′(x) có đồthịnhư hình vẽ.

x

y

O π 2

−π

2 −π π

−1

1

Xét trên (−π;π), khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm sốf (x) đồng biến trên khoảng (−π;π). B. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (−π;π). C. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng ³ −π; −π

2

´ và ³π

2;π ´ .

D. Hàm sốf (x) đồng biến trên khoảng (0;π). Ê Lời giải.

Trong khoảng (0;π) đồthịhàm sốy = f ′(x) nằm phía trên trục hoành nên hàm sốf (x) đồng biến trên khoảng (0;π). Chọn đáp án D □

CÂU 3. Cho hàm sốy = f (x). Đồthịhàm sốy = f ′(x) như hình bên.

−2 x

y

O −1 1

4

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm sốf (x) đồng biến trên (−2;1). B. Hàm sốf (x) đồng biến trên (1;+∞). C. Hàm sốf (x) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2. D. Hàm sốf (x) nghịch biến trên (−∞;−2). Ê Lời giải. Dựa vào đồthịcủa hàm sốy = f ′(x) ta thấy:

f ′(x) > 0 ⇔

" −2 < x < 1

x > 1 ⇒f (x) đồng biến trên các

khoảng (−2;1), (1;+∞). Suy ra A đúng, B đúng. f ′(x) < 0 khi x < −2 ⇒f (x) nghịch biến trên khoảng (−∞;−2). Suy ra D đúng. Vậy C sai. Chọn đáp án C □

CÂU 4. Cho hàm sốy = f (x). Hàm sốy = f ′(x) có đồthịnhư hình bên.

x

y

O

y = f ′(x)

−1 1 4

Hàm sốy = g(x) = f (2 −x) đồng biến trên khoảng

A. (1;3). B. (2;+∞). C. (−2;1). D. (−∞;−2). Ê Lời giải. Ta có: g′(x) = (2−x).f ′(2−x) = −f ′(2−x)

1 Đại sốvà giải tích 12

½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐVD-VDC

Hàm sốđồng biến khi g′(x) > 0 ⇔f ′(2 −x) < 0 ⇔ " 2−x < −1

1 < 2−x < 4 ⇔

" x > 3

−2 < x < 1.

Chọn đáp án C □

CÂU 5. Cho hàm sốy = f (x). Đồthịhàm sốy = f ′(x) như hình bên dưới

x

y

O −2 2 5

Hàm sốg(x) = f (3−2x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (0;2). B. (1;3). C. (−∞;−1). D. (−1;+∞). Ê Lời giải.

Dựa vào đồthị, suy ra f ′(x) > 0 ⇔

" −2 < x < 2

x > 5 . Ta

có g′(x) = −2f ′(3−2x).

Xét g′(x) < 0 ⇔f ′(3 −2x) > 0 ⇔

" −2 < 3−2x < 2

3−2x > 5 ⇔ 

 1 2 < x < 5

2 x < −1 .

Vậy g(x) nghịch biến trên các khoảng µ1

2; 5

2

¶ và

(−∞;−1). Cách 2. Ta có g′(x) = 0 ⇔ f ′(3 −2x) =

0 theo đồthịf ′(x) −−−−−−−−−−−→





3−2x = −2

3−2x = 2

3−2x = 5

⇔





x = 5

2

x = 1

2 x = −1

.

Bảng biến thiên

x

f ′(x)

f (x)

−∞ −1 0.5 2.5 +∞

− 0 + 0 − 0 +

+∞ +∞

f (−1) f (−1)

f (0.5) f (0.5)

f (2.5) f (2.5)

+∞ +∞

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta Chú ý: Dấu của g′(x) được xác định như sau:

Ví dụta chọn x = 0 ∈ µ −1; 1

2

¶ , suy ra 3 −2x = 3

theo đồthịf ′(x) −−−−−−−−−−−→f ′(3 −2x) = f ′(3) < 0. Khi đó g′(0) = −f ′(3) > 0.

Nhận thấy các nghiệm của g′(x) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. Chọn đáp án C □

CÂU 6. Cho hàm sốy = f (x). Đồthịhàm sốy = f ′(x) như hình bên dưới

x

y

O 1 2 4 −1

Hàm sốg(x) = f (1 −2x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (−1;0). B. (−∞;0). C. (0;1). D. (1;+∞). Ê Lời giải.

Dựa vào đồthị, suy ra f ′(x) < 0 ⇔

" x < −1

1 < x < 2. Ta

có g′(x) = −2f ′(1−2x).

Xét g′(x) > 0 ⇔f ′(1 −2x) < 0 ⇔

" 1−2x < −1

1 < 1−2x < 2 ⇔ 

 x > 1

−1

2 < x < 0 .

Vậy g(x) đồng biến trên các khoảng µ −1

2;0 ¶ và

(1;+∞). Cách 2. Ta có g′(x) = 0 ⇔−2f ′(1−2x) = 0

theo đồthịf ′(x) ⇐⇒





1−2x = −1

1−2x = 1

1−2x = 2

1−2x = 4 (nghiệm kép)

⇔





x = 1

x = 0

x = −1

2

x = −3

2

.

Bảng biến thiên

x

f ′(x)

f (x)

−∞ −1.5 0.5 0 1 +∞

− 0 − 0 + 0 − 0 +

+∞ +∞

f (−0.5) f (−0.5)

f (0) f (0)

f (1) f (1)

+∞ +∞

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với …